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2016-10267-0101
入試の軌跡 数学さんの解答(PDF3頁)へ
望星塾さんの解答(PDF1頁3行目)へ
2016 東京工業大学 前期
配点60点
易□ 並□ 難□
【1】 a を正の定数とし,放物線 y = x24 を C 1 とする.
(1) 点 P が C 1 上を動くとき, P と点 Q (2⁢ a, a24 -2) の距離の最小値を求めよ.
(2) Q を中心とする円 ( x-2⁢ a) 2+ (y- a24 +2) 2=2⁢ a2 を C 2 とする. P が C 1 上を動き,点 R が C 2 上を動くとき, P と R の距離の最小値を求めよ.
2016-10267-0102
入試の軌跡 数学さんの解答(PDF4頁)へ
望星塾さんの解答(PDF3頁7行目)へ
【2】 ▵ABC を一辺の長さ 6 の正三角形とする.サイコロを 3 回振り,出た目を順に X , Y ,Z とする.出た目に応じて,点 P , Q , R をそれぞれ線分 BC , CA , AB 上に
BP→ = X6⁢ BC → ,CQ →= Y6 ⁢ CA→ , AR→ =Z 6⁢ AB →
をみたすように取る.
(1) ▵PQR が正三角形になる確率を求めよ.
(2) 点 B ,P , R を互いに線分で結んでできる図形を T1 , 点 C ,Q , P を互いに線分で結んでできる図形を T2 , 点 A , R , Q を互いに線分で結んでできる図形を T 3 とする. T1 , T2 , T3 のうち,ちょうど 2 つが正三角形になる確率を求めよ.
(3) ▵PQR の面積を S とし, S のとりうる値の最小値を m とする. m の値および S =m となる確率を求めよ.
2016-10267-0103
入試の軌跡 数学さんの解答(PDF5頁5行)へ
望星塾さんの解答(PDF6頁1行目)へ
【3】 水平な平面 α の上に半径 r 1 の球 S 1 と半径 r 2 の球 S 2 が乗っており, S1 と S 2 は外接している.
(1) S1 , S2 が α と接する点をそれぞれ P1 , P 2 とする.線分 P1 P2 の長さを求めよ.
(2) α の上に乗っており, S1 と S 2 の両方に外接している球すべてを考える.それらの球と α の接点は, 1 つの円の上または 1 つの直線の上にあることを示せ.
2016-10267-0104
入試の軌跡 数学さんの解答(PDF6頁)へ
望星塾さんの解答(PDF8頁21行目)へ
【4】 n を 2 以上の自然数とする.
(1) n が素数または 4 のとき, (n -1) ! は n で割り切れないことを示せ.
(2) n が素数でなくかつ 4 でもないとき, (n -1) ! は n で割り切れることを示せ.
2016-10267-0105
入試の軌跡 数学さんの解答(PDF7頁)へ
望星塾さんの解答(PDF9頁24行目)へ
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【5】 次のように媒介変数表示された x y 平面上の曲線を C とする:
{ x=3 ⁢cos⁡t -cos⁡3 ⁢t y=3⁢ sin⁡t- sin⁡3⁢ t
ただし 0 ≦t≦ π 2 である.
(1) d xdt および dyd t を計算し, C の概形を図示せよ.
(2) C と x 軸と y 軸で囲まれた部分の面積を求めよ.