2016　東京工業大学　前期MathJax

【１】　$a$を正の定数とし，放物線$y={\displaystyle \frac{x^2}{4}}$を$C_1$とする．

(1)　点$\mathrm{P}$が$C_1$上を動くとき，$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}(2a,{\displaystyle \frac{a^2}{4}}-2)$の距離の最小値を求めよ．

(2)　$\mathrm{Q}$を中心とする円${(x-2a)}^2+{(y-{\displaystyle \frac{a^2}{4}}+2)}^2=2a^2$を$C_2$とする．$\mathrm{P}$が$C_1$上を動き，点$\mathrm{R}$が$C_2$上を動くとき，$\mathrm{P}$と$\mathrm{R}$の距離の最小値を求めよ．

【２】　$▵\mathrm{ABC}$を一辺の長さ$6$の正三角形とする．サイコロを$3$回振り，出た目を順に$X\text{，}Y\text{，}Z$とする．出た目に応じて，点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$をそれぞれ線分$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CA}\text{，}$$\mathrm{AB}$上に

$\overrightarrow{\mathrm{BP}}={\displaystyle \frac{X}{6}}\overrightarrow{\mathrm{BC}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{CQ}}={\displaystyle \frac{Y}{6}}\overrightarrow{\mathrm{CA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AR}}={\displaystyle \frac{Z}{6}}\overrightarrow{\mathrm{AB}}$

をみたすように取る．

(1)　$▵\mathrm{PQR}$が正三角形になる確率を求めよ．

(2)　点$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{P}\text{，}\mathrm{R}$を互いに線分で結んでできる図形を$T_1\text{，}$点$\mathrm{C}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{P}$を互いに線分で結んでできる図形を$T_2\text{，}$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{R}\text{，}$$\mathrm{Q}$を互いに線分で結んでできる図形を$T_3$とする．$T_1\text{，}$$T_2\text{，}$$T_3$のうち，ちょうど$2$つが正三角形になる確率を求めよ．

(3)　$▵\mathrm{PQR}$の面積を$S$とし，$S$のとりうる値の最小値を$m$とする．$m$の値および$S=m$となる確率を求めよ．

【３】　水平な平面$\alpha$の上に半径$r_1$の球$S_1$と半径$r_2$の球$S_2$が乗っており，$S_1$と$S_2$は外接している．

(1)　$S_1\text{，}{S}_2$が$\alpha$と接する点をそれぞれ${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2$とする．線分${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2$の長さを求めよ．

(2)　$\alpha$の上に乗っており，$S_1$と$S_2$の両方に外接している球すべてを考える．それらの球と$\alpha$の接点は，$1$つの円の上または$1$つの直線の上にあることを示せ．

【４】　$n$を$2$以上の自然数とする．

(1)　$n$が素数または$4$のとき，$(n-1)!$は$n$で割り切れないことを示せ．

(2)　$n$が素数でなくかつ$4$でもないとき，$(n-1)!$は$n$で割り切れることを示せ．

【５】　次のように媒介変数表示された$xy$平面上の曲線を$C$とする：

$\{\begin{array}{l}x=3\cos t-\cos 3t\\ y=3\sin t-\sin 3t\end{array}$

ただし$0\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$である．

(1)　${\displaystyle \frac{dx}{dt}}$および${\displaystyle \frac{dy}{dt}}$を計算し，$C$の概形を図示せよ．

(2)　$C$と$x$軸と$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．