2016　東京海洋大学　前期海洋科学部

【１】　$3$次関数$y=x^3-3x^2+5$について次の問に答えよ．

(1)　$f(x)$の極値を求め，$y=f(x)$のグラフをかけ．

(2)　点$\mathrm{P}(p,f(p))$を通る直線が点$\mathrm{P}$とは異なる点$\mathrm{Q}(q,f(q))$で曲線$y=f(x)$に接するとき，$q$を$p$で表せ．

【２】　連立不等式

$y\geqq 0\text{，}{x}^2+y^2\leqq 1\text{，}y\geqq 6x^2-4$

の表す$xy$平面上の領域を$D$とするとき，次の問に答えよ．

(1)　領域$D$を図示せよ．

(2)　点$(x,y)$が領域$D$を動くとき$y-x$の最大値と最小値を求めよ．

(3)　$D$の面積を求めよ．

【３】　${\log }_{10}2=0.301\text{，}{\log }_{10}3=0.477\text{，}{\log }_{10}5=0.699\text{，}{\log }_{10}7=0.875$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　${2016}^n>{10}^{100}$となる最小の自然数$n$を求めよ．

(2)　${\displaystyle \sum _{k=0}^n}{225}^k>{10}^{100}$となる最小の自然数$n$を求めよ．

【４】　$▵\mathrm{ABC}$に対し$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}$$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{BC}}\text{，}$$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{CA}}$として

$\overrightarrow{p}=\left|\overrightarrow{a}\right|\overrightarrow{b}+\left|\overrightarrow{b}\right|\overrightarrow{c}+\left|\overrightarrow{c}\right|\overrightarrow{a}$

によってベクトル$\overrightarrow{p}$を定めるとき，次の問に答えよ．

(1)　$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{0}$は$▵\mathrm{ABC}$が正三角形であるための必要十分条件であることを証明せよ．

(2)　$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{a}$かつ$\left|\overrightarrow{p}\right|=4$のとき，$\cos \angle \mathrm{ABC}$の値を求めよ．

【５】　$t$が$0\leqq t\leqq 1$の範囲を動くとき，$xy$平面上の$2$点$\mathrm{P}(t,t)\text{，}\mathrm{Q}(t-1,1-t)$を結ぶ線分$\mathrm{PQ}$の通過する領域を$D$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$D$を図示せよ．

(2)　$D$の面積を求めよ．