2016　横浜国立大学　前期

【１】　数列$\{a_n\}$は

$a_1=5\text{，}{a_1}^2+{a_2}^2+\cdots +{a_n}^2={\displaystyle \frac{2}{3}}{a}_n{a}_{n+1}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

をみたすとする．次の問いに答えよ．

(1)　$a_2\text{，}{a}_3$を求めよ．

(2)　$a_{n+2}$を$a_n\text{，}{a}_{n+1}$を用いて表せ．

(3)　一般項$a_n$を求めよ．

【２】　実数$a\text{，}b$に対し，関数

$f(x)=x^4+2a{x}^3+(a^2+1)x^2-a^3+a+b$

がただ$1$つの極値をもち，その極値が$0$以上になるとする．次の問いに答えよ．

(1)　$a\text{，}b$のみたす条件を求めよ．

(2)　$a\text{，}b$が(1)の条件をみたすとき，$a-2b$の最大値を求めよ．

【３】　四面体$\mathrm{OABC}$があり，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．点$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{P}$を$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=2\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OE}}=3\overrightarrow{c}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OP}}=6\overrightarrow{\mathrm{OG}}$をみたす点とし，平面$\mathrm{ADE}$と直線$\mathrm{OP}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(2)　三角形$\mathrm{ADE}$の面積を$S_1\text{，}$三角形$\mathrm{QDE}$の面積を$S_2$とするとき，${\displaystyle \frac{S_1}{S_2}}$を求めよ．

(3)　四面体$\mathrm{OADE}$の体積を$V_1\text{，}$四面体$\mathrm{PQDE}$の体積を$V_2$とするとき，${\displaystyle \frac{V_2}{V_1}}$を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)={\displaystyle \frac{\log (1-x)}{x}}$は$0<x<1$の範囲で減少することを示せ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　極限値

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{\tan \left({\displaystyle \frac{(n+k)\pi }{6n}}\right)}}$

を求めよ．

【４】　$a$を正の定数とする．$2$つの曲線$C_1\text{：}y=x\log x$と$C_2\text{：}y=a{x}^2$の両方に接する直線の本数を求めよ．ただし，$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{{(\log x)}^2}{x}}=0$は証明なしに用いてよい．

【５】　$xy$平面上に楕円$C\text{：}{\displaystyle \frac{x^2}{4}}+y^2=1$がある．次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}(a,b)$を通る$C$の接線が$2$本あり，それらが直交するとき，$a\text{，}b$がみたす条件を求めよ．

(2)　$C$に外接する長方形のうち，$x$座標が$1$で$y$座標が正である頂点をもつものの面積を求めよ．