2016　金沢大学　前期　人間社会学域MathJax

【１】　座標空間内に$3$点$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{A}(3,3,0)\text{，}\mathrm{B}(0,6,0)$をとり，さらに$1<a<3$を満たす定数$a$に対して点$\mathrm{P}(t,ta,ta)$をとる．ただし，$t$は$t>0$の範囲を動くものとする．次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$から$xy$平面に垂線$\mathrm{PH}$を下ろす．点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．

(2)　点$\mathrm{H}$が線分$\mathrm{AB}$上にあるときの$t$の値を求め，そのときの点$\mathrm{H}$の座標を$a$を用いて表せ．

　以下，点$\mathrm{H}$は線分$\mathrm{AB}$上にあるとする．

(3)　点$\mathrm{M}$を線分$\mathrm{AB}$の中点とする．$\mathrm{AH}:\mathrm{HM}$の比の値${\displaystyle \frac{\mathrm{AH}}{\mathrm{HM}}}$を求めよ．

(4)　四面体$\mathrm{OPMH}$の体積が$2$となるような$a$の値を求めよ．

【２】　平面上の$2$つの曲線

$C_1\text{：}{x}^2+{(y-5)}^2=16\text{，}{C}_2\text{：}y={\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2$

を考える．次の問いに答えよ．

(1)　$C_1$と$C_2$の共有点の座標を求めよ．

(2)　$C_1$と$C_2$を同一平面上に図示せよ．

(3)　$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ．

【３】　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の$3$人がそれぞれ$1$個ずつのサイコロを同時に投げ，出た目を大きさの順に$x_1\leqq x_2\leqq x_3$とする．$x_1=x_2=x_3$のときは，もう一度$3$人でサイコロ投げを行う．$x_1\leqq x_2<x_3$のときは，$x_3$を出した者が勝者となり，サイコロ投げを終了する．$x_1<x_2=x_3$のときは，$x_1$を出した者は去り，残りの$2$人で異なる目が出るまでサイコロ投げを続け，大きい目を出した者が勝者となり，サイコロ投げを終了する．次の問いに答えよ．

(1)　$1$回目のサイコロ投げで$\mathrm{A}$が$3$を出して勝者となる場合の数を求めよ．

(2)　$1$回目のサイコロ投げで$\mathrm{A}$が勝者となる場合の数を求めよ．

(3)　$1$回目のサイコロ投げで勝者が決まる場合の数を求めよ．

(4)　$2$回目のサイコロ投げで勝者が決まる場合の数を求めよ．