2016　山梨大学　後期MathJax

【１】　次の問題文の空欄$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{カ}}$にあてはまるものを解答欄に記入せよ．

(1)　$6$個の値$5\text{，}8\text{，}4\text{，}2\text{，}a\text{，}b$からなるデータの平均値と中央値がともに$6$であるとき，$a\text{，}b$の価を求めると$a=\boxed{\text{ア}}\text{，}b=\boxed{\text{イ}}$である．ただし，$a<b$とする．

【１】　次の問題文の空欄$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{カ}}$にあてはまるものを解答欄に記入せよ．

(2)　関数$f(x)=\left|x\right|+|x+1|+|x+2|+|x+3|$は，最小値$\boxed{\text{ウ}}$をとる．

【１】　次の問題文の空欄$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{カ}}$にあてはまるものを解答欄に記入せよ．

(3)　座標空間において，原点$\mathrm{O}$を中心とする球面$S$と，すべての頂点が$S$上にある正四面体$T$を考える．$\mathrm{A}(\sqrt{2},0,1)\text{，}\mathrm{B}(0,-\sqrt{2},-1)$が$T$の頂点であるとき，$S$の半径は$\boxed{\text{エ}}$であり，$T$の残りの頂点の座標をすべて求めると$\boxed{\text{オ}}$である．

【１】　次の問題文の空欄$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{カ}}$にあてはまるものを解答欄に記入せよ．

(4)　自然数$p_1\text{，}{p}_2\text{，}\cdots \text{，}{p}_n\text{，}{q}_1\text{，}{q}_2\text{，}\cdots \text{，}{q}_n$が$p_k>q_k\text{（}k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n\text{）}$を満たすとする．$0\leqq x\leqq 1$に対し，関数

$f(x)=\{x^{q_1}{(1-x)}^{p_1-q_1}\}\{x^{q_2}{(1-x)}^{p_2-q_2}\}\cdots \{x^{q_n}{(1-x)}^{p_n-q_n}\}$

は，$x=\boxed{\text{カ}}$のとき最大となる．

【２】　次の問題文の空欄$\boxed{\text{キ}}$から$\boxed{\text{セ}}$にあてはまるものを解答欄に記入せよ．

(1)　$a\text{，}b$を$0$でない実数とし，$f(x)=e^{ax}\cos bx$に対して$f^{\prime }(x)=e^{ax}(-{\displaystyle \frac{1}{2}}\cos bx-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\sin bx)$が成り立つとする．このとき，$a\text{，}b$の値は$a=\boxed{\text{キ}}\text{，}b=\boxed{\text{ク}}$であり，$f(x)$の第$8$次導関数は$f^{(8)}(x)=e^{ax}\cos (bx+\boxed{\text{ケ}})$となる．ただし，$\boxed{\text{ケ}}$は$0\leqq \boxed{\text{ケ}}<2\pi$を満たす実数であり，解答に$a\text{，}b$の文字を使ってはならない．

【２】　次の問題文の空欄$\boxed{\text{キ}}$から$\boxed{\text{セ}}$にあてはまるものを解答欄に記入せよ．

(2)　$f(x)=x^3-3x^2+2x$とする．${\displaystyle {\int }_{-1}^4}f(x)dx=\boxed{\text{コ}}$となる．また，任意の実数$a$に対して${\displaystyle {\int }_0^a}f(x)dx={\displaystyle {\int }_b^a}f(x)dx$が成立する$0$でない$b$の値は$b=\boxed{\text{サ}}$である．曲線$y=f(x)$の$y\geqq 0$の部分と$x$軸で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積は$\boxed{\text{シ}}$である．

【２】　次の問題文の空欄$\boxed{\text{キ}}$から$\boxed{\text{セ}}$にあてはまるものを解答欄に記入せよ．

(3)　$0$でない複素数$z$が${\displaystyle \sum _{n=0}^6}{z}^n=0$を満たすとする．このとき，${\left({\displaystyle \sum _{n=0}^6}{z}^{n^2}\right)}^2$の値は$\boxed{\text{ス}}$である．また，$2+z+z^2+z^4$を解にもち，整数を係数とする$n$次方程式$x^n+a_1{x}^{n-1}+\cdots +a_n=0$（$n>1\text{，}{a}_1\text{，}\cdots \text{，}{a}_n$は整数）で，$n$が最小となる方程式は$\boxed{\text{セ}}=0$である．

【３】　$n$を自然数とする．$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の$2$人が，以下の設定でどちらかが優勝するまでゲームを繰り返す．$1$回のゲームでは確率$p={\displaystyle \frac{1}{3}}$で$\mathrm{A}$が勝ち，確率$1-p={\displaystyle \frac{2}{3}}$で$\mathrm{B}$が勝つ．$\mathrm{A}$が$n$勝する前に$\mathrm{B}$が$5$勝したら$\mathrm{B}$の優勝とし，$\mathrm{B}$が$5$勝する前に$\mathrm{A}$が$n$勝したら$\mathrm{A}$の優勝とする．$4$以下の自然数$n$の中で，$\mathrm{A}$が優勝する確率が${\displaystyle \frac{1}{2}}$に最も近くなる$n$を求めよ．

【４】　$2$つの自然数$x\text{，}y$の最小公倍数を$[x,y]\text{，}$最大公約数を$(x,y)$と書く．また，$3$つの自然数$x\text{，}y\text{，}z$の最大公約数を$(x,y,z)$と書く．このとき，任意の自然数$a\text{，}b\text{，}c$に対して$\{[a,b],c)(a,b,c)=(a,c)(b,c)$が成り立つことを示せ．

【５】　$xy$平面において，$1$でない正の実数$r$に対して${\displaystyle \frac{x^2}{r^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{r^2-1}}=1$で表される曲線を$C_r$とする．$0<\beta <1<\alpha$を満たす定数$\alpha \text{，}\beta$に対し，$C_{\alpha }$と$C_{\beta }$の交点をすべて求めよ．また，交点$\mathrm{P}$を任意に$1$つ選んだとき，$\mathrm{P}$での$C_{\alpha }$と$C_{\beta }$の接線は互いに直交することを示せ．

【６】　多項式$P_0(x)\text{，}{P}_1(x)\text{，}{P}_2(x)\text{，}\cdots$および$Q_0(x)\text{，}{Q}_1(x)\text{，}{Q}_2(x)\text{，}\cdots$を