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2016-10421-0101
2016 信州大学 前期 教育学部
数学 ⅠAⅡB
配点75点
易□ 並□ 難□
【1】 関数 f ⁡(x )= 12⁢ x 2-1 について, y=f⁡ (x ) 上の点 ( an, f⁡( an )) における接線と x 軸の交点の座標を ( an+ 1, 0) とする.ただし, a1 >0 とする.
(1) a1 =2 とするとき, a2 , a3 を求めよ.
(2) a1 >0 に対して, a1 , a2 , a3 の大小を等号及び不等号を使って表せ.
2016-10421-0102
【2】 点 O を原点とする座標平面上に 2 点 A ( p,q) , B ( p,0 ) をとる.ここで, p ,q は正の実数とする.三角形 OAB の内接円の中心を I とする.
(1) 直線 AI と辺 OB の交点を C とする.このとき,
OC→ = |OA → | ⁢OB→ | OA→ |+ | AB→ |
であることを示せ.
(2)
OI→ = |OB → | ⁢OA→ +| OA→ |⁢ OB→ |OA →| +|OB →| +|AB →|
(3) ∠AOB の二等分線の傾きが 12 であるとき, qp の値を求めよ.
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数学 ⅠAⅡBⅢ
【1】 平面上のベクトル
an →=( cos⁡ n⁢π 4, sin⁡ n ⁢π4 ) , b n→ =(2⁢ cos⁡ n ⁢π6 ,2⁢ sin⁡ n ⁢π6 ) ( n=0 ,1 ,2 ,⋯ ,12 )
に対して, ∑n= 012 | an →+ bn→ |2 を求めよ.
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【2】 実数 a , b は, -1<x <1 に対して - 3<x2 -2⁢a ⁢x+b <5 を満たすものとする.ただし, a>0 とする.このとき,次の問に答えよ.
(1) 点 ( a,b ) が表す領域を図示せよ.
(2) 座標平面上で,直線 x =0 , 直線 x =1 , 直線 y =-3 , 曲線 y =x2 -2⁢a ⁢x+b で囲まれる図形の面積 S を a , b を用いて表せ.
(3) (2)の S の取りうる値の範囲を求めよ.
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【3】 楕円 C : x24 +y2 =1 の焦点を F ( a,0) ,F ′( -a,0 ) とおく.ただし, a>0 とする.また, C 上の点 P ( b,c ) に対して, ∠FPF′ の二等分線と x 軸との交点を Q とする.ただし, b⁢c ≠0 とする.このとき,次の問に答えよ.
(1) F′ P:FP =F′ Q:FQ であることを示せ.
(2) FQ FP の値を求めよ.
(3) 直線 PQ の傾きは 4⁢c b であることを示せ.
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【4】 座標平面において, C :y= e-x ( x>0 ) 上の点 ( a,e -a ) の接線を L とおき, L と x 軸との交点を A ,L と y 軸との交点を B , 原点を O とする.三角形 OAB の面積を S 1 とし, y 軸, L , C で囲まれる図形の面積を S 2 とおく.
(1) S1 , S2 をそれぞれ求めよ.
(2) a>0 のとき, ( a-1) ⁢ea +1>0 であることを示せ.
(3) S 2S1 を a の関数とみたとき,区間 ( 0,∞ ) で単調に増加することを示せ.