2016　名古屋工業大学　後期MathJax

2016　名古屋工業大学　後期

易□　並□　難□

【１】　 $k$ を定数とし，関数 $f (x) = x {(\log x)}^{2} + k x$ のグラフを $C ： y = f (x)$ とする． $C$ の変曲点を $P$ とする．

(1)　不定積分 $\int f (x) d x$ を求めよ．

(2)　変曲点 $P$ を求めよ．

(3)　関数 $f (x)$ が極値を持つような $k$ の値の範囲を求めよ．

(4)　変曲点 $P$ が $x$ 軸上にあるように $k$ の値を定め，そのときの $f (x)$ の極値を求めよ．

(5)　 $k$ が(4)で定めた値のとき，曲線 $C$ の $y ≦ 0$ の範囲にある部分と $x$ 軸とで囲まれた図形の面積 $S$ を求めよ．

2016　名古屋工業大学　後期

易□　並□　難□

【２】　正の定数 $r$ に対して， $2$ つの数列 ${a_{n}} ， {b_{n}}$ を次で定める．

$a_{1} = 1 ， b_{1} = 1$

${\begin{cases} a_{n + 1} = - r b_{n} + 1 \\ b_{n + 1} = r a_{n} + 7 \end{cases} （ n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ）$

　さらに自然数 $n$ に対し，複素数 $z_{n}$ を $z_{n} = a_{n} + i b_{n}$ で定める．

(1)　 $z_{3}$ を $r$ を用いて表せ．

(2)　 $z_{n + 1}$ を $z_{n}$ と $r$ を用いて表せ．

(3)　複素数 $w$ と $α$ は，すべての自然数 $n$ に対し $\frac{z_{n + 1} - w}{z_{n} - w} = α$ を満たす． $w$ と $α$ を $r$ を用いて表せ．

(4)　複素数平面において，すべての $z_{n}$ が同一の円 $C$ 上にあるとき，定数 $r$ を求めよ．そのとき，原点 $O$ からの距離が最大となる $C$ 上の点を求めよ．

2016　名古屋工業大学　後期

易□　並□　難□

【３】　サイコロを投げるという試行を繰り返し，次のルールに従って持ち点を定める．

・最初の持ち点は $0$ 点である．

・試行を $1$ 回行うごとに， $5$ または $6$ の目が出たら持ち点に $1$ 点加え，その他の目が出たら持ち点に $2$ 点加える．

　 $n$ 回目の試行を終えて，点数を加えた後の時点での持ち点を $a_{n}$ とする．

　試行を $k$ 回繰り返すとき， $a_{1} ， a_{2} ， \dots ， a_{k - 1}$ は $3$ の倍数ではなく，かつ $a_{k}$ を $3$ で割った余りが $1$ である事象を $A_{k}$ とする．

(1)　 $a_{2}$ を $3$ で割った余りが $1$ となる確率を求めよ．

(2)　 $a_{5}$ が偶数である確率を求めよ．

(3)　事象 $A_{n}$ が起こったときの事象 $A_{n + 2}$ が起こる条件付き確率を求めよ．

(4)　確率 $P (A_{n + 2})$ を確率 $P (A_{n})$ を用いて表せ．

(5)　確率 $P (A_{n})$ を求めよ．

2016　名古屋工業大学　後期

易□　並□　難□

【４】　実数 $t$ に対し， $2$ つの放物線

$C_{1} ： y = \frac{1}{2} x^{2} + t + 3 ， C_{2} ： y = - x^{2} + 2 t x$

がある．

(1)　 $t = - 1$ のとき，放物線 $C_{1}$ と $C_{2}$ の両方に接する直線をすべて求めよ．

(2)　放物線 $C_{1}$ と $C_{2}$ 両方に接する直線が $2$ 本存在するような $t$ の値の範囲を求めよ．

(3)　 $t$ が(2)で求めた範囲にあるとき，放物線 $C_{1}$ と $C_{2}$ の両方に接する $2$ 本の直線の交点を $P$ とする． $P$ の座標を $t$ を用いて表せ．

(4)　 $t$ を(2)で求めた範囲で動かしたとき，(3)で得られた交点 $P$ の軌跡を $C$ とする．この軌跡 $C$ 上の点で $y$ 座標が最小となる点 $Q$ を求めよ．