2016　愛知教育大学　前期MathJax

【１】　平面上で，半径$r_1$の円$C_1$と半径$r_2$の円$C_2$が，異なる$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$で交わっているとする．線分$\mathrm{PQ}$の垂直二等分線を$l$として，円$C_1$と$l$の交点のうち円$C_1$の内部にある点を$\mathrm{R}\text{，}$円$C_2$と$l$の交点のうち円$C_1$の外部にある点を$\mathrm{S}$とする．

問１　$\angle \mathrm{PRQ}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}\angle \mathrm{PSQ}={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$のとき，${\displaystyle \frac{r_2}{r_1}}$を求めよ．

問２　$\angle \mathrm{PRQ}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}\text{，}\angle \mathrm{PSQ}={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$のとき，${\displaystyle \frac{r_2}{r_1}}$を求めよ．

問３　$\angle \mathrm{PRQ}={\theta }_1\text{，}\angle \mathrm{PSQ}={\theta }_2$とするとき，${\displaystyle \frac{r_2}{r_1}}$を${\theta }_1$と${\theta }_2$を用いて表せ．

【２】　すべての自然数$n$について，$3^n-2n+3$は$4$の倍数である．このことを，数学的帰納法を用いて示せ．

【３】　$a$を$0<a<1$を満たす定数とし，$x\text{，}y$が$x{y}^2=a^3$を満たすとする．$x>0\text{，}y>0$とするとき，次の問いに答えよ．

問１　$X={\log }_{a}x\text{，}Y={\log }_{a}y$とおくとき，$X$と$Y$の関係式を求めよ．

問２　$x\text{，}y$が${\log }_{a}x\cdot {\log }_{a}y\geqq 1$を満たすとき，$y$のとり得る値の範囲を求めよ．

【４】　$xy$平面において，点$(0,2)$を中心とする半径$2$の円を$C$とする．また，放物線$y=a{x}^2$を$P$とする．ただし，$a$は正の実数とする．

問１　円$C$と放物線$P$との共有点が円$C$の円周の長さを$3$等分するとき，$a$の値を求めよ．

問２　$a$の値を問１で求めたものとする．このとき，円$C$と放物線$P$により囲まれてできる図形のうち，点$({\displaystyle \frac{3}{2}},{\displaystyle \frac{3}{2}})$を内部に含む図形の面積を求めよ．

【５】　すべての自然数$n$について，$3^{3n+1}+7^{2n-1}$は$11$の倍数である．このことを，数学的帰納法を用いて示せ．

【６】問１　複素数平面において，方程式$|z+1|=|z-1|$を満たす点$z$全体はどのような図形か答えよ．

問２　複素数$z\text{（}z\ne -1\text{）}$に対し，$w={\displaystyle \frac{i(1-z)}{1+z}}$とする．このとき，どんな$z$に対しても$w=-i$とはならないことを示せ．ただし，$i$は虚数単位を表す．

問３　点$z$が問１で求めた図形の上を動くとき，問２の点$w$はどのような図形を描くか答えよ．

【７】　点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円に内接する鋭角三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$と直線$\mathrm{AO}$との交点を$\mathrm{M}$とする．$5\overrightarrow{\mathrm{OA}}+4\overrightarrow{\mathrm{OB}}+3\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{0}$が成り立っているとき，次の問いに答えよ．

問１　内積$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$を求めよ．

問２　$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．

問３　$\mathrm{BM}$の長さを求めよ．

問４　$\cos \angle \mathrm{BOM}$を求めよ．

【８】　関数

$y=x^x{(1-x)}^{1-x}\text{（}0<x<1\text{）}$

について，次の問いに答えよ．

問１　$y$の導関数を求めよ．

問２　$y$のとり得る値の範囲を求めよ．ただし，必要があれば，$\underset{t\to +0}{\lim }{t}^t=1$であることを証明なしに用いてよい．

【９】問１　不定積分${\displaystyle \int }{\sin }^{2}tdt\text{，}{\displaystyle \int }\sin t\cos tdt\text{，}{\displaystyle \int }{\cos }^{2}tdt$をそれぞれ求めよ．

問２　等式

$f(x)=\cos x+{\displaystyle \frac{1}{\pi }}{\displaystyle {\int }_0^{\pi }}f(t)\cos (t-x)dt$

を満たす関数$f(x)$を求めよ．

志望別問題選択一覧

数学選修・数学専攻・情報選修・情報専攻　【５】，【６】，【７】，【８】，【９】必答

教育科学専攻（中等），理科選修，理科専攻，自然科学コース　【３】，【４】，【５】必答

技術専攻・情報科学コース　【３】，【４】必答，【５】，【６】から１題選択

教育科学選修（初等）・音楽選修・音楽専攻・美術選修・美術専攻・保健体育選修・家庭選修・家庭専攻・特別支援学校教員養成課程・養護教諭養成課程　【１】，【２】必答