2016　京都大学　前期MathJax

【１】　$xy$平面内の領域

$x^2+y^2\leqq 2\text{，}\left|x\right|\leqq 1$

で，曲線$C\text{：}y=x^3+x^2-x$の上側にある部分の面積を求めよ．

【２】　ボタンを押すと「あたり」か「はずれ」のいずれかが表示される装置がある．「あたり」の表示される確率は毎回同じであるとする．この装置のボタンを$20$回押したとき，$1$回以上「あたり」の出る確率は$36\mathrm{\%}$である．$1$回以上「あたり」の出る確率が$90\mathrm{\%}$以上となるためには，この装置のボタンを最低何回押せばよいか．必要なら$0.3010<{\log }_{10}2<0.3011$を用いてよい．

【３】　$n$を$4$以上の自然数とする．数$2\text{，}12\text{，}1331$がすべて$n$進法で表記されているとして，

$2^{12}=1331$

が成り立っている．このとき$n$はいくつか，十進法で答えよ．

【４】　四面体$\mathrm{OABC}$が次の条件を満たすならば，それは正四面体であることを示せ．

条件：頂点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$からそれぞれの対面を含む平面へ下ろした垂線は対面の重心を通る．

ただし，四面体のある頂点の対面とは，その頂点を除く他の$3$つの頂点がなす三角形のことをいう．

【５】　実数を係数とする$3$次式$f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$に対し，次の条件を考える．

(イ)　方程式$f(x)=0$の解であるすべての複素数$\alpha$に対し，${\alpha }^3$もまた$f(x)=0$の解である．

(ロ)　方程式$f(x)=0$は虚数解を少なくとも$1$つもつ．

この$2$つの条件(イ)，(ロ)を同時に満たす$3$次式をすべて求めよ．

【１】 (1)　$n$を$2$以上の自然数とするとき，関数

$f_n(\theta )=(1+\cos \theta ){\sin }^{n-1}\theta$

の$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$における最大値$M_n$を求めよ．

(2)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{(M_n)}^n$を求めよ．

【２】　素数$p\text{，}q$を用いて

$p^q+q^p$

と表される素数をすべて求めよ．

【３】　四面体$\mathrm{OABC}$が次の条件を満たすならば，それは正四面体であることを示せ．

条件：頂点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$からそれぞれの対面を含む平面へ下ろした垂線は対面の外心を通る．

ただし，四面体のある頂点の対面とは，その頂点を除く他の$3$つの頂点がなす三角形のことをいう．

【４】　$xyz$空間において，平面$y=z$の中で

$\left|x\right|\leqq {\displaystyle \frac{e^y+e^{-y}}{2}}-1\text{，}0\leqq y\leqq \log a$

で与えられる図形$D$を考える．ただし$a$は$1$より大きい定数とする．

　この図形$D$を$y$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

【５】　$xy$平面上の$6$個の点$(0,0)\text{，}(0,1)\text{，}(1,0)\text{，}(1,1)\text{，}(2,0)\text{，}(2,1)$が図のように長さ$1$の線分で結ばれている．動点$\mathrm{X}$は，これらの点の上を次の規則に従って$1$秒ごとに移動する．

規則：動点$\mathrm{X}$は，そのときに位置する点から出る長さ$1$の線分によって結ばれる図の点のいずれかに，等しい確率で移動する．

例えば，$\mathrm{X}$が$(2,0)$にいるときは，$(1,0)\text{，}(2,1)$のいずれかに${\displaystyle \frac{1}{2}}$の確率で移動する．また$\mathrm{X}$が$(1,1)$にいるときは，$(0,1)\text{，}(1,0)\text{，}(2,1)$のいずれかに${\displaystyle \frac{1}{3}}$の確率で移動する．

　時刻$0$で動点が$\mathrm{O}=(0,0)$から出発するとき，$n$秒後に$\mathrm{X}$の$x$座標が$0$である確率を求めよ．ただし$n$は$0$以上の整数とする．

【６】　 複素数を係数とする$2$次式$f(x)=x^2+ax+b$に対し，次の条件を考える．

(イ)　$f(x^2)$は$f(x)$で割り切れる．

(ロ)　$f(x)$の係数$a\text{，}b$の少なくとも一方は虚数である．

この$2$つの条件(イ)，(ロ)を同時に満たす$2$次式をすべて求めよ．