2016　京都工芸繊維大学　後期MathJax

【１】　$i$を虚数単位とする．

(1)　$\alpha =1-\sqrt{3}i$とおく．次の条件(＊)を満たす整数$n$をすべて求めよ．

(＊)　${\alpha }^n$は実数であり，不等式$-1000\leqq {\alpha }^n\leqq -1$が成り立つ．

(2)　次の条件(＊＊)を満たす複素数$z\text{（}z\ne 0\text{）}$をすべて求めよ．

(＊＊)　複素数平面において$3$点$\mathrm{A}(z)\text{，}\mathrm{B}(1)\text{，}\mathrm{C}\left({\displaystyle \frac{1}{z}}\right)$が正三角形の異なる$3$頂点である．

【２】　関数$f(u)=3u^4+8u^3-2$と関数$g(x)=2\sin x-1$との合成関数$h(x)=f(h(x))$を考える．

(1)　区間$-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}<x<{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$の範囲で関数$h(x)$の極値をすべて求めよ．

(2)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}h(x)\sin 2xdx$を求めよ．

【３】　$a$を$0<a<1$を満たす実数とし，$n$を自然数とする．等式

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{x}^{4k-4}={\displaystyle \frac{1-x^{4n}}{1-x^4}}\text{（}{x}^4\ne 1\text{）}$

の両辺を$x=0$から$x=a$まで積分すると，等式

(＊)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{a^{4k-3}}{4k-3}}={\displaystyle {\int }_0^a}{\displaystyle \frac{1-x^{4n}}{1-x^4}}dx$

が成り立つことがわかる．

(1)　次の不等式が成り立つことを示せ．

$0\leqq {\displaystyle {\int }_0^a}{\displaystyle \frac{x^{4n}}{1-x^4}}dx\leqq {\displaystyle \frac{1}{1-a^4}}\cdot {\displaystyle \frac{a^{4n+1}}{4n+1}}$

(2)　等式${\displaystyle \frac{1}{1-x^4}}=A({\displaystyle \frac{1}{1-x}}+{\displaystyle \frac{1}{1+x}})+{\displaystyle \frac{B}{1+x^2}}$が$x$についての恒等式となるような定数$A\text{，}B$の値を求めよ．

(3)　$a={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$のとき，無限級数${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }}{\displaystyle \frac{a^{4k-3}}{4k-3}}$の和を求めよ．ただし，(＊)を証明なしに用いてよい．

(補足)　$2$行目の等式の左辺において，$x^0$は$1$とする．

【４】　自然数$n$に対し，$(n+2)$個の文字からなる文字列のうち，次の条件$\text{(ⅰ)}$および$\text{(ⅱ)}$を満たすものを考える．

$\text{(ⅰ)}$　どの文字も$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$のいずれかである．

$\text{(ⅱ)}$　その文字列の中に同じ文字が続けて$3$つ以上並ぶことはない．

このような文字列のうち，末尾の$2$文字が同じものの総数を$p_n$とし，末尾の$2$文字が異なるものの総数を$q_n$とする．

(1)　$p_1\text{，}{q}_1$を求めよ．

(2)　$p_{n+1}\text{，}{q}_{n+1}$を$p_n\text{，}{q}_n$を用いて表せ．

(3)　数列$\{r_n\}\text{，}\{s_n\}$を

$r_n=q_n-(1-\sqrt{3})p_n\text{，}{s}_n=q_n-(1+\sqrt{3})p_n$

で定める．$\{r_n\}\text{，}\{s_n\}$はいずれも等比数列であることを示せ．

(4)　$p_n\text{，}{q}_n$を求めよ．