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2016-10565-0201
2016 大阪教育大学 後期
易□ 並□ 難□
【1】 以下の問に答えよ.
(1) 関数 f ⁡(x ) が x =a で微分可能であることの定義を述べよ.
(2) 関数 f ⁡(x ) が x =a で微分可能ならば, f⁡( x) は x =a で連続であることを証明せよ.
(3) 自然数 n に対して,関数 f ⁡(x )= xn の導関数を述べ,それを証明せよ.
(4) 関数 f ⁡(x )=sin ⁡x の導関数を述べ,それを証明せよ.ただし,以下は証明なしに用いてよい.
limθ →0 sin ⁡θθ =1
2016-10565-0202
【2】 自然数 n に対して, an= 3⁢n2 +28⁢n +30 ,B n=3⁢ n+24 とする. an と b n の最大公約数を D n とし, Sn= ∑ k=1 nD k とする.
(1) D1 , D2 ,D 3 と D 6 を求めよ.
(2) S12 と S 20 を求めよ.
(3) Sn が 60 の倍数となる, 100 以下の自然数 n をすべて求めよ.
2016-10565-0203
【3】 自然数 m に対して
F1 ⁡(m )= ∑ k=1 mk , Fn +1⁡ (m )= ∑k= 1m Fn⁡ (k ) ( n= 1 ,2 , 3 ,⋯ )
とする.以下の等式が成り立つことを証明せよ.
(1) F2⁡ (m) =C3 m+ 2
(2) F3⁡ (m) =C4 m+ 3
(3) Fn⁡ (m) =Cn+ 1 m+ n
2016-10565-0204
【4】 数列 { an } を
a1 =4 ,a 2=3 , an +2= an+ 1- 14 ⁢ an ( n= 1 ,2 , 3 ,⋯ )
と定める. 0 でない実数 α に対して,数列 { bn }, { cn } を
bn= an+ 1- α⁢a n ,c n= anα n ( n= 1, 2 ,3 , ⋯ )
と定める.
(1) {b n} が等比数列となる α を求め,そのときの { bn } の一般項を求めよ.
(2) (1)で求めた α に対して, {c n} が等差数列になることを示し, {c n} と { an } の一般項を求めよ.
(3) ∑k= 1n ak を求めよ.