2016　大阪教育大学　後期MathJax

2016　大阪教育大学　後期

易□　並□　難□

【１】　以下の問に答えよ．

(1)　関数 $f (x)$ が $x = a$ で微分可能であることの定義を述べよ．

(2)　関数 $f (x)$ が $x = a$ で微分可能ならば， $f (x)$ は $x = a$ で連続であることを証明せよ．

(3)　自然数 $n$ に対して，関数 $f (x) = x^{n}$ の導関数を述べ，それを証明せよ．

(4)　関数 $f (x) = \sin x$ の導関数を述べ，それを証明せよ．ただし，以下は証明なしに用いてよい．

$\lim_{θ \to 0} \frac{\sin θ}{θ} = 1$

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【２】　自然数 $n$ に対して， $a_{n} = 3 n^{2} + 28 n + 30 ， B_{n} = 3 n + 24$ とする． $a_{n}$ と $b_{n}$ の最大公約数を $D_{n}$ とし， $S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} D_{k}$ とする．

(1)　 $D_{1} ， D_{2} ， D_{3}$ と $D_{6}$ を求めよ．

(2)　 $S_{12}$ と $S_{20}$ を求めよ．

(3)　 $S_{n}$ が $60$ の倍数となる， $100$ 以下の自然数 $n$ をすべて求めよ．

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【３】　自然数 $m$ に対して

$F_{1} (m) = \sum_{k = 1}^{m} k ， F_{n + 1} (m) = \sum_{k = 1}^{m} F_{n} (k) （ n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ）$

とする．以下の等式が成り立つことを証明せよ．

(1)　 $F_{2} (m) = {}_{m + 2}C_{3}$

(2)　 $F_{3} (m) = {}_{m + 3}C_{4}$

(3)　 $F_{n} (m) = {}_{m + n}C_{n + 1}$

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【４】　数列 ${a_{n}}$ を

$a_{1} = 4 ， a_{2} = 3 ， a_{n + 2} = a_{n + 1} - \frac{1}{4} a_{n} （ n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ）$

と定める． $0$ でない実数 $α$ に対して，数列 ${b_{n}} ， {c_{n}}$ を

$b_{n} = a_{n + 1} - α a_{n} ， c_{n} = \frac{a_{n}}{α^{n}} （ n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ）$

と定める．

(1)　 ${b_{n}}$ が等比数列となる $α$ を求め，そのときの ${b_{n}}$ の一般項を求めよ．

(2)　(1)で求めた $α$ に対して， ${c_{n}}$ が等差数列になることを示し， ${c_{n}}$ と ${a_{n}}$ の一般項を求めよ．

(3)　 $\sum_{k = 1}^{n} a_{k}$ を求めよ．