2016　鳥取大学　前期MathJax

(1)　袋の中の玉がなくなるまで袋から玉を$1$個ずつ取り出すとき，最初に赤玉が連続して$4$個出て，かつ最後に赤玉が出る確率を求めよ．

(2)　袋の中の玉がなくなるまで袋から玉を$1$個ずつ取り出すとき，白玉と赤玉が交互に出る確率を求めよ．

(3)　袋から$5$個の玉を同時に取り出すとき，白玉$1$個につき$1000$円をもらい，赤玉$1$個につき$500$円を支払うものとする．このとき，もらった金額の合計額が支払った金額の合計額を上回る確率を求めよ．

$1^2\text{，}{1}^2+3^2\text{，}{1}^2+3^2+5^2\text{，}\cdots \text{，}{1}^2+3^2+5^2+\cdots +{(2n-1)}^2\text{，}\cdots$

また，数列$\{b_n\}$を以下のように定める．

$2^2\text{，}{2}^2+4^2\text{，}{2}^2+4^2+6^2\text{，}\cdots \text{，}{2}^2+4^2+6^2+\cdots +{(2n)}^2\text{，}\cdots$

このとき，以下の問いに答えよ．ただし，$n$は自然数とする．

(1)　数列$\{a_n\}$の第$n$項を$n$を用いて表せ．

(2)　数列$\{a_n-b_n\}$の第$n$項を$n$を用いて表せ．

(3)　$c_n=a_{n+1}-b_n$とおくとき，$c_n>100(n+1)$となる最小の$n$を求めよ．

(1)　点$\mathrm{A}$と直線$l$の距離を$k$を用いて表せ．

(2)　直線$l$と円$C$が異なる$2$点で交わるように，$k$の値の範囲を求めよ．

(3)　直線$l$と円$C$が異なる$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$で交わるとする．線分$\mathrm{PQ}$について，$\mathrm{PQ}=2\sqrt{k}$が成り立つとき，$k$の値を求めよ．

(4)　(3)で求めた$k$に対する直線$l$と直線$\mathrm{AB}$のなす角を$\theta$とする．このとき，$\tan \theta$の値を求めよ．ただし，$0\leqq \theta <{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$とする．

(1)　$f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．

(2)　$a>1$を満たす実数$a$に対して，$I(a)={\displaystyle {\int }_1^a}f(x)dx$とおくとき，$I(a)$を求めよ．

(1)　$C$上の点$(x,y)$に対して，$y$を$x$の式で表し，$x$の値の取り得る範囲を求めよ．

(2)　$C$上の点で，$x$座標が最大となる点と，$y$座標が最大となる点をそれぞれ求めよ．

(3)　$C$で囲まれた図形の面積を求めよ．

$1^2\text{，}{1}^2+3^2\text{，}{1}^2+3^2+5^2\text{，}\cdots \text{，}{1}^2+3^2+5^2+\cdots +{(2n-1)}^2\text{，}\cdots$

また，数列$\{b_n\}$を以下のように定める．

$2^2\text{，}{2}^2+4^2\text{，}{2}^2+4^2+6^2\text{，}\cdots \text{，}{2}^2+4^2+6^2+\cdots +{(2n)}^2\text{，}\cdots$

このとき，以下の問いに答えよ．ただし，$n$は自然数とする．

(1)　数列$\{a_n\}$の第$n$項を$n$を用いて表せ．

(2)　数列$\{a_n-b_n\}$の第$n$項を$n$を用いて表せ．

(3)　$c_n=a_{n+1}-b_n$とおくとき，$c_n$が$6$の倍数となるための$n$の条件を求めよ．

(1)　$C$上の点で，$x$座標が最大となる点と，$y$座標が最大となる点をそれぞれ求めよ．

(2)　$C$で囲まれた図形の面積を求めよ．

(1)　$f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．

(2)　$t>0$ならば${\displaystyle \frac{t^2}{2}}<e^t$であることを用いて，$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)$を求めよ．

(3)　$a>1$を満たす実数$a$に対して，$I(a)={\displaystyle {\int }_1^a}f(x)dx$とおくとき，$I(a)$を求めよ．

(4)　極限値$\underset{a\to \infty }{\lim }I(a)$を求めよ．