2016　広島大学　AO入試教育学部第二類数理系MathJax

【１】　$▵\mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{AB}$上に$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$と異なる点$\mathrm{L}$をとり，辺$\mathrm{BC}$上に$2$点$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$と異なる点$\mathrm{M}$をとり，辺$\mathrm{CA}$上に$2$点$\mathrm{C}\text{，}\mathrm{A}$と異なる点$\mathrm{N}$をとる．$\overrightarrow{\mathrm{AM}}+\overrightarrow{\mathrm{BN}}+\overrightarrow{\mathrm{CL}}=\overrightarrow{0}$であるとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AM}}+\overrightarrow{\mathrm{BN}}+\overrightarrow{\mathrm{CL}}=\overrightarrow{0}$であることは，

$\mathrm{BM}:\mathrm{BC}=\mathrm{CN}:\mathrm{CA}=\mathrm{AL}:\mathrm{AB}$

であるための必要十分条件であることを示せ．

(2)　$▵\mathrm{ABC}$の面積を$S$とする．$▵\mathrm{LMN}$の面積が最小になるとき，$▵\mathrm{LMN}$の面積を$S$を用いて表せ．

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　数列$\{a_n\}$の階差数列を$\{b_n\}$とするとき，次のことが成り立つことを示せ．

$n\geqq 2$のとき$a_n=a_1+{\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}}{b}_k$

(2)　数列$\{c_n\}$を

$a_1=0\text{，}{\displaystyle \frac{c_{n+1}}{n+2}}-{\displaystyle \frac{c_n}{n}}={\displaystyle \frac{1}{n(n+2)}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．

(ⅰ)　数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．

(ⅱ)　数列$\{c_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$を求めよ．

(ⅲ)　$T_n={\displaystyle \frac{S_n}{n}}$とするとき，極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }(\sqrt{T_{n+1}}-\sqrt{T_n})$を求めよ．

【３】　次の問いに答えよ．

(1)　$n$は自然数とする．$a_1\text{，}{a}_2\text{，}\cdots \text{，}{a}_n$が実数のとき，不等式

${(a_1+a_2+\cdots +a_n)}^2\leqq n({a_1}^2+{a_2}^2+\cdots +{a_n}^2)$

が成り立つことを示せ．ただし必要があれば，実数$a\text{，}b$に対して$2ab\leqq a^2+b^2$が成り立つことを用いてよい．

(2)　関数$f(x)$は閉区間$[a,b]$で連続で，常に$f(x)\geqq 0$とする．区分求積法の考え方を用いて，不等式

${\{{\displaystyle {\int }_a^b}f(x)dx\}}^2\leqq (b-a){\displaystyle {\int }_a^b}{\{f(x)\}}^{2}dx$

が成り立つことを示せ．

(3)　自然数$n$に対して

$S_n={\displaystyle {\int }_0^1}|{\displaystyle \sum _{k=1}^n}\sin ((2k-1)\pi x)|dx$

とするとき，不等式

$S_n<{\displaystyle \frac{n}{\sqrt{2}}}$

が成り立つことを示せ．