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2016-10721-0401
2016 広島大学 AO入試
理学部数学科
易□ 並□ 難□
【1】 関数 f ⁡( t)= cos⁡2⁢ t⁢cos⁡ t ,g ⁡(t )= cos⁡2⁢ t⁢sin⁡ t について,以下の問いに答えよ.
(1) 次の等式が成り立つことを示せ.
( { f⁡( t) }2 +{ g⁡( t) }2 ) 3= ( {f⁡ (t )} 2- {g⁡ (t) }2 ) 2
(2) 0≦t ≦2⁢π のとき, |f ⁡( t) |= |g⁡ (t ) | を満たす t をすべて求めよ.
(3) 次の定積分を求めよ.
∫ 02⁢ π {f⁡ (t )⁢g ′⁡( t)- g⁡( t)⁢ f′⁡ (t) }⁢ dt
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【2】 平面上の平行四辺形 OACB において, OA→ =a→ , OB→ =b→ とする.対角線 AB 上の点 D をとり,辺 OA ,OB 上にそれぞれ点 E ,F を ED と OB が平行, FD と OA が平行となるようにとる.ただし, D は A ,B とは異なるとする.また, BE と AF の交点を S とする. AD:DB =p:1 -p とするとき,以下の問いに答えよ.
(1) OE→ ,OF → を a→ , b→ ,p を用いて表せ.
(2) OS→ を a→ , b→ , p を用いて表せ.
(3) 点 D が対角線 AB 上のどの位置にあっても, 3 点 G , D ,S は一直線上にあることを示せ.
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【3】 以下の問いに答えよ.
(1) x ,y は実数とする. t の 2 次方程式 t2-x ⁢t+y =0 が実数解をもつような点 ( x,y ) の集合を座標平面に図示せよ.
(2) 次の連立不等式が表す領域を D とする.
a2 +b2 ≦1 ,a >0 ,b >0
点 ( a,b ) が領域 D 内を動くとき, x=a+ b ,y =a⁢b によって定まる点 ( x,y ) の集合を座標平面に図示せよ.
(3) 点 ( a,b ) が(2)の領域 D 内を動くとき,
lgo2 ⁡a+ log2⁡ b-log 2⁡ (a+ b)
の最大値を求めよ.ただし, log2 ⁡a は 2 を底とする a の対数である.
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【4】 f⁡( x)= 1 ex +1 とする.ただし, e は自然対数の底である.以下の問いに答えよ.
(1) 関数 y =f⁡( x) の増減,グラフの凹凸および変曲点を調べ,そのグラフの概形をかけ.
(2) 関数 g ⁡(x ) のグラフは直線 y = 12 に関して関数 y =f⁡ (x ) のグラフと対称であるとする.このとき, g⁡( x) を求めよ.
(3) n を正の整数, g⁡( x) を(2)で与えられた関数とする.曲線 y =f⁡ (x ) ,y =g⁡ (x ) および直線 x =n で囲まれた図形の面積 S n を求めよ.
(4) (3)の S n について limn→ ∞ S nn を求めよ.
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【5】 n を 3 以上の整数とする.以下の問いに答えよ.
(1) k を 1 以上 n -1 以下の整数とする. n 人がじゃんけんを 1 回するとき,勝者が k 人である確率を求めよ.
(2) n 人がじゃんけんを 1 回するとき,あいこにならない確率を求めよ.
(3) n 人がじゃんけんをする. 1 回目ではあいこになり, 2 回目で勝者が 1 人となる確率を求めよ.
(4) n 人がじゃんけんをする. 1 回目ではあいこにならずに勝者が 2 人以上となり, 1 回目の勝者だけで 2 回目のじゃんけんをしてその勝者が 1 人となる確率を求めよ.