2016　鳴門教育大学　前期MathJax

【１】　$a$を実数とするとき，不等式$|n-a|+|n-6|\leqq 6$をみたす整数$n$の個数を求めなさい．

【２】　$▵\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=6\text{，}\mathrm{BC}=k\text{，}\mathrm{CA}=2k$とするとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$▵\mathrm{ABC}$が直角三角形となるような$k$とそのときの$\sin C$の値をすべて求めなさい．

(2)　$\tan C={\displaystyle \frac{3}{4}}$となるときの，$▵\mathrm{ABC}$の面積を求めなさい．

【３】　右の図において，直線$l$は$2$つの円$\mathrm{O}\text{，}{\mathrm{O}}^{\prime }$の共通接線で，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$は接点です．円$\mathrm{O}\text{，}{\mathrm{O}}^{\prime }$の半径をそれぞれ$3\text{，}5$とし，$\mathrm{O}\text{，}{\mathrm{O}}^{\prime }$間の距離を$6$とします．直線$l$と直線${\mathrm{OO}}^{\prime }$の交点を$\mathrm{P}$とします．また$2$つの円の交点を$\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$とし，直線$l$と直線$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{E}\text{，}$直線$\mathrm{CD}$と直線${\mathrm{PO}}^{\prime }$の交点を$\mathrm{F}$とします．次の問いに答えなさい．

(1)　線分$\mathrm{AB}$の長さを求めなさい．

(2)　$\mathrm{E}$が線分$\mathrm{AB}$の中点であることを示しなさい．

(3)　線分$\mathrm{EF}$の長さを求めなさい．

【４】　次の問いに答えなさい．

(1)　$10$進数$999$以下の自然数で，$3$進法で表したとき各位の数字が$0$または$1$であるものの個数を求めなさい．

(2)　自然数$n$を$3$進法で表したとき各位の数字が$0$または$1$であるとします．このとき，$n$を$9$進法で表せば，各位の数字が$0\text{，}1\text{，}3\text{，}4$のいずれかになることを示しなさい．

(3)　$10$進数$999$以下の自然数で，$3$進法で表したとき各位の数字が$0$または$1$であり，かつ，$9$進法で表したとき各位の数字が$1$または$3$であるものの個数を求めなさい．

【５】　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の$3$人がサイコロを振って一番大きな目が出た人を勝者とします．ただし，一番大きな目が出た人が$2$人以上いる場合は，その人たち全員を勝者とします．$1$回目で勝者が一人に決まらなかった場合には，勝者の間で再びサイコロを振って，同様の方法で勝者を決めるものとします．このとき次の問いに答えなさい．

(1)　$1$回目で勝者が$1$人に決まる確率を求めなさい．

(2)　$1$回目で勝者が$2$人だけ残る確率を求めなさい．

(3)　$2$回目で勝者が$1$人に決まる確率を求めなさい．