2016　高知大学　医学科AO入試MathJax

【１】　関数$f(x)=x^3-7x+7$とする．このとき，次の設問に答えなさい．

設問１　$y=f(x)$の増減表をかきなさい．

設問２　関数$y=f(x)$のグラフの概形をかきなさい．それを用いて$f(x)=0$は$3$つの異なる実数解$a\text{，}b\text{，}c$で$c<0\text{，}1<b<a<2$を満たすものをもつことを説明しなさい．

設問３　$g(x)=x^{2}f(1+{\displaystyle \frac{1}{x}})$とする．$g(1)\text{，}g(2)\text{，}g(3)$を計算しなさい．それを用いて$g(x)=0$の実数解のうちの$2$つの解$d\text{，}e$は$1<d<2\text{，}2<e<3$を満たすことを説明しなさい．

設問４　設問２における$a\text{，}b$は設問３における$d\text{，}e$を用いて，それぞれ$a=1+{\displaystyle \frac{1}{d}}\text{，}b=1+{\displaystyle \frac{1}{e}}$とかけることを示しなさい．さらに${\displaystyle \frac{4}{3}}<b<{\displaystyle \frac{3}{2}}\text{，}{\displaystyle \frac{3}{2}}<a<2$を満たすことを示しなさい．

【２】　$3$辺の長さが$a\text{，}b\text{，}c$である三角形の面積を$S(a,b,c)$とする．このとき，次の設問に答えなさい．

設問１　余弦定理を用いて，$S(a,b,c)=\sqrt{t(t-a)(t-b)(t-c)}$であることを示しなさい．ここで$t={\displaystyle \frac{a+b+c}{2}}$とする．

設問２　$a\leqq c$のとき，$x$が$a\leqq x\leqq c$を満たすならば，$x\text{，}b\text{，}a+c-x$をそれぞれの辺の長さとする三角形ができることを示しなさい．すなわち，$2$辺の長さの和は他の$1$辺の長さより長い事を示しなさい．

設問３　設問２の$x$について，$S(a,b,c)\leqq S(x,b,a+c-x)$が成り立つことを示しなさい．また，等号の成立は$x=a$または$x=c$のときに限ることを示しなさい．

【３】　$m>{\displaystyle \frac{1}{2}}$とする．次の$3$直線について設問に答えなさい．

$l_1\text{：}y=mx-2m+3$

$l_2\text{：}y=-{\displaystyle \frac{1}{m}}x+{\displaystyle \frac{2}{m}}+3$

$l_3\text{：}y=-2x+1$

設問１　$l_1$と$l_2$の交点の座標を求めなさい．

設問２　$3$直線$l_1\text{，}{l}_2\text{，}{l}_3$で囲まれた三角形の面積を求めなさい．

設問３　$3$直線$l_1\text{，}{l}_2\text{，}{l}_3$で囲まれた三角形が二等辺三角形となる$m$を求めなさい．