2016　九州工業大学　後期MathJax

(ⅰ)　$a_n$を求めよ．

(ⅱ)　$m$を自然数，$k$を$0\leqq k\leqq m$をみたす整数とする．$k<f(x)\text{，}x\leqq 2m$を同時にみたす整数$x$の個数を$m\text{，}k$を用いて表せ．

(ⅲ)　自然数$m$に対して，座標平面上で$y<f(x)\text{，}y\geqq 0\text{，}x\leqq 2m$を同時にみたす格子点の個数$b_m$を$m$を用いて表せ．

(ⅳ)　自然数$m$に対して，座標平面上で$y\leqq g_1(x)\text{，}y\geqq 0\text{，}x\leqq m^2$を同時にみたす格子点の個数$c_m$を$m$を用いて表せ．

(ⅴ)　自然数$m$に対して，座標平面上で$y\geqq f(x)\text{，}y\leqq g_{2m-1}(x)\text{，}x\geqq 0$を同時にみたす格子点の個数を$d_m$とするとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{d_m}{m^4}}$を求めよ．

(ⅰ)　$w_1={\displaystyle \frac{1}{z^2}}-z^2-(5-i)$とする．$\left|w_1\right|$の最小値と最大値を求めよ．

(ⅱ)　$w_2={\displaystyle \frac{1}{z^4}}+{\displaystyle \frac{1}{z^2}}+z^2+z^4-(5-i)$とする．点$w_2$が描く図形を複素数平面上に図示せよ．

(ⅲ)　$w_3={\displaystyle \frac{1}{{\bar{z}}^4}}+{\displaystyle \frac{1}{{\bar{z}}^2}}+{\bar{z}}^2+{\bar{z}}^4-(5-i)$とする．条件$\left|w_3\right|\leqq \sqrt{26}$をみたす点$z$全体を複素数平面上に図示せよ．

(ⅰ)　$\cos \angle \mathrm{OPA}$を$a\text{，}r\text{，}x$を用いて表せ．

(ⅱ)　${(\cos \angle \mathrm{OPA})}^2$を$x$の関数と考え，その関数を$f(x)$とおく．$f(x)$の最小値を$a\text{，}r$を用いて表せ．また，$f(x)$が最小になるときの$x$を$x_0$とする．$x_0$を$a$を用いて表せ．

(ⅲ)　(ⅱ)で求めた$x_0$に対して，点$(x_0,\sqrt{r^2-{x_0}^2})$を${\mathrm{P}}_0$とする．$a=r-1$のとき，${\displaystyle \frac{\pi }{6}}<\angle \mathrm{O}{\mathrm{P}}_0\mathrm{A}<{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$が成り立つような$r$の値の範囲を求めよ．

(ⅰ)　関数$f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べて，そのグラフをかけ．

(ⅱ)　　曲線$y=f(x)$の点$(e^{\frac{3}{2}},f(e^{\frac{3}{2}}))$における接線$l$の方程式を$y=px+q$とする．$p\text{，}q$を求めよ．さらに，次の不等式を示せ．

${\displaystyle \frac{1}{x}}\log x\geqq px+q(x\geqq e^{\frac{3}{2}})$

(ⅲ)　(ⅱ)で定めた接線$l$と$x$軸の交点を$(a,0)$とする．曲線$y=f(x)$と接線$l$および直線$x=a$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

(ⅰ)　関数$f(x)$は，$x=\pm e^{-1}$で極値をとることを示せ．

(ⅱ)　関数$f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸，変曲点，および$x$軸との交点を求め，$y=f(x)$のグラフの概形を描け．

(ⅲ)　$x\geqq 0$において，$y=f(x)$のグラフと$x$軸とで囲まれる部分の面積を求めよ．

(ⅰ)　$\cos \alpha \text{，}\sin \alpha$の値を求めよ．

(ⅱ)　断面積$S$を$\theta$を用いて表せ．

(ⅲ)　(ⅱ)で求めた断面積$S$の最大値と，そのときの$\cos \theta$の値を求めよ．ただし，二重根号はできるだけはずすこと．

(ⅳ)　立体の体積を$\alpha$を用いて表せ．

$\begin{array}{lll}{a}_1=1\text{，}& a_{n+1}=4a_n+3& \text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}\\ b_1=1\text{，}{b}_2=\alpha \text{，}& b_{n+2}=7b_{n+1}-12b_n& \text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}\\ c_1=\beta \text{，}& c_{n+1}=\beta c_n& \text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}\end{array}$

により定める．ただし，$\alpha \text{，}\beta$は実数とする．以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(ⅱ)　数列$\{b_n\}$の漸化式を$b_{n+2}-p{b}_{n+1}=q(b_{n+1}-p{b}_n)$の形に変形することにより，数列$\{b_n\}$の一般項を$\alpha$を用いて表せ．

(ⅲ)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{b_n}{a_n}}=-{\displaystyle \frac{3}{4}}$のとき，$\alpha$の値を求めよ．

(ⅳ)　$\alpha =1$かつ$\beta \geqq 2$のとき，無限級数${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }}{\displaystyle \frac{a_k+b_k}{c_k}}$の収束，発散を調べ，収束する場合にはその和を$\beta$を用いて表せ．

(ⅰ)　$L_4$に含まれ$(1,1)$とは異なる格子点のうち，その点と$(1,1)$との中点が格子点となる点は何個あるか．

(ⅱ)　$L_4$から異なる$2$個の格子点を選ぶとき，それらの中点が格子点となる確率を求めよ．

(ⅲ)　座標平面上の異なる$2$個の格子点$(x,y)$と$(x+a,y+b)$の中点が格子点となるための$a$と$b$の条件を求めよ．

(ⅳ)　$L_{2k}\text{（}k=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots \text{）}$から異なる$2$個の格子点を選ぶとき，それらの中点が格子点となる確率を$p_k$とする．このとき，$p_k$を$k$を用いて表せ．また，$\underset{k\to \infty }{\lim }{p}_k$を求めよ．

(ⅴ)　$L_{2k}\text{（}k=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots \text{）}$から異なる$3$個の格子点を選ぶとき，それらの中のどの$2$個の格子点の中点も格子点となはらない確率を$q_k$とする．このとき，$q_k$を$k$を用いて表せ．また，$\underset{k\to \infty }{\lim }{q}_k$を求めよ．