2016　熊本大学　前期MathJax

【１】　右図のように，$▵\mathrm{ABC}$の外部に$3$点$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}$を$▵\mathrm{ABD}\text{，}▵\mathrm{BCE}\text{，}▵\mathrm{CAF}$がそれぞれ正三角形になるようにとる．$▵\mathrm{ABC}$の面積を$S\text{，}3$辺の長さを$\mathrm{BC}=a\text{，}\mathrm{CA}=b\text{，}\mathrm{AB}=c$とおくとき，以下の問いに答えよ．

(問１)　$\angle \mathrm{BAC}=\theta$とおくとき，$\sin \theta$を$b\text{，}c\text{，}S$を用いて，$\cos \theta$を$a\text{，}b\text{，}c$を用いて表せ．

(問２)　${\mathrm{DC}}^2$を$a\text{，}b\text{，}c\text{，}S$を用いて表し，${\mathrm{DC}}^2={\mathrm{EA}}^2={\mathrm{FB}}^2$が成り立つことを示せ．

(問３)　$3$つの正三角形の面積の平均を$T$とおくとき，${\mathrm{DC}}^2$を$S$と$T$を用いて表せ．

【２】　$1$つのさいころを$3$回投げる．$1$回目に出る目の数，$2$回目に出る目の数，$3$回目に出る目の数をそれぞれ$X_1\text{，}{X}_2\text{，}{X}_3$とし，$5$つの数

$2\text{，}5\text{，}2-X_1\text{，}5+X_2\text{，}{X}_3$

からなるデータを考える．以下の問いに答えよ．

(問１)　データの範囲が$7$以下である確率を求めよ．

(問２)　$X_3$がデータの中央値に等しい確率を求めよ．

(問３)　$X_3$がデータの平均値に等しい確率を求めよ．

(問４)　データの中央値と平均値が一致するとき，$X_3$が中央値に等しい条件付き確率を求めよ．

【３】　自然数$a$に対して

$S(a)={\displaystyle \sum _{k=1}^a}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}}$

とおく．以下の問いに答えよ．

(問１)　和$S(a)$を求めよ．

(問２)　$S(a)$が整数となる自然数$a$を小さい順に並べた数列を

$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3\text{，}\cdots \text{，}{a}_n\text{，}\cdots$

とする．一般項$a_n$を求めよ．

(問３)　(問２)の数列$\{a_n\}$について，$a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を$4$で割った余りは$0$か$3$であることを示せ．

(問４)　(問２)の数列$\{a_n\}$と自然数$N$に対して和${\displaystyle \sum _{n=1}^N}{\displaystyle \frac{1}{a_n}}$を求めよ．　

【４】　$2$次関数$f(x)$に対して

$F(x)={\displaystyle {\int }_0^x}f(t)dt$

とおく．$a$を正の数とし，$F(x)$が$x=a$と$x=-a$で極値をとるとき，以下の問いに答えよ．

(問１)　すべての$x$について$F(-x)=-F(x)$が成り立つことを示せ．

(問２)　$F(x)+F(a)=0$を満たす$x$をすべて求めよ．

(問３)　関数${\displaystyle \frac{F(x)}{F^{\prime }(0)}}$の最大値を求めよ．

【１】　$1$辺の長さ$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$を考える．$0<s<{\displaystyle \frac{1}{2}}$に対し$\mathrm{OC}$を$s:(1-s)$に内分する点を$\mathrm{P}$とし，$0<t<1$に対し$\mathrm{OC}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，以下の問いに答えよ．

(問１)　$\overrightarrow{\mathrm{PB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}\text{，}s\text{，}t$を用いて表せ．

(問２)　$\angle \mathrm{BPQ}=90\mathrm{°}$であるとき，$t$を$s$を用いて表せ．

(問３)　(問２)の条件の下で，$t$の最大値とそのときの$s$の値を求めよ．

(問４)　(問３)で求めた$s\text{，}t$に対して，${\mathrm{PQ}}^2$を求めよ．

【３】　$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たす$\theta$に対して，$\alpha =2(\cos \theta +i\sin \theta )$とする．ただし，$i$は虚数単位である．$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対して

$z_n={\alpha }^n-2{\alpha }^{n-1}$

とおく．以下の問いに答えよ．

(問１)　$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$とするとき，$z_n$を極形式で表せ．

(問２)　$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$とするとき，${\displaystyle \sum _{k=1}^n}\left|z_k\right|>500$となる最小の$n$を求めよ．

(問３)　$z_{1000}$が実数となるような$\theta$の値の個数を求めよ．

【４】　$x\geqq 1$で定義された関数

$f(x)={\displaystyle \frac{\log x}{x^2}}$

について，以下の問いに答えよ．

(問１)　$x\geqq 1$における$f(x)$の最大値とそのときの$x$の値を求めよ．

(問２)　(問１)で求めた$x$の値を$a$とする．曲線$y=f(x)$と$2$直線$y=0\text{，}x=a$で囲まれた図形を$D$とする．$D$の面積を求めよ．

(問３)　(問２)の図形$D$を$y$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

【１】　$▵\mathrm{ABC}$と，$\mathrm{A}$を通り$\mathrm{BC}$に平行な直線$l$を考える．$k$を正の数とし，直線$l$上に点$\mathrm{P}$を$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=k\overrightarrow{\mathrm{BC}}$となるようにとる．また直線$l$上に点$\mathrm{Q}$を，線分$\mathrm{PB}$と線分$\mathrm{QC}$が$1$点で交わるようにとる．その交点を$\mathrm{R}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とおき，また$m$を$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=m\overrightarrow{\mathrm{AP}}$により定める．以下の問いに答えよ．

(問１)　$\overrightarrow{\mathrm{AR}}$を$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}\text{，}$$k\text{，}$$m$を用いて表せ．

(問２)　$\left|\overrightarrow{b}\right|=1\text{，}$$\left|\overrightarrow{c}\right|=2\text{，}$$\cos \angle \mathrm{BAC}={\displaystyle \frac{3}{4}}\text{，}$$m=-1$とする．$\overrightarrow{\mathrm{BR}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CR}}$が直交するとき，$k$の値を求めよ．

【４】　$a\text{，}b$を実数とし，曲線$C\text{：}y=x^3-3a{x}^2+bx$を考える．$C$の接線の傾きの最小値が$-3$であるとき，以下の問いに答えよ．

(問１)　$b$を$a$を用いて表せ．

(問２)　$C$が$x$軸の正の部分，負の部分とそれぞれ$1$点で交わるとする．このとき$a$の値の範囲を求めよ．

(問３)　$a$が(問２)で求めた範囲にあるとき，$C$と$x$軸で囲まれた図形の面積の最小値を求め，そのときの$a$の値を求めよ．