2016　公立はこだて未来大学　前期MathJax

【１】　箱の中に$1$から$10$までの自然数が$1$つずつ書かれた$10$枚のカードが入っている．この箱の中からカードを同時に$3$枚取り出し，取り出されたカードの数字を小さいものから順に$X\text{，}Y\text{，}Z$とする．以下の問いに答えよ．

問１　$X$が$4$以下である確率を求めよ．

問２　$Y$が$4$以下である確率を求めよ．

【２】　関数$f(x)=1-|ax(1-x)-1|$について，以下の問いに答えよ．ただし，$a$は正の実数とする．

問１　$ax(1-x)-1$が常に負になるための$a$の条件を求めよ．

問２　$a=6$のとき，$y=f(x)$のグラフを描け．

問３　関数$f(x)$の最大値を$M(a)$とする．$a$がすべての正の実数値をとって変化するとき，点$(a,M(a))$を座標平面上に図示せよ．

問４　直線$y=x$と$y=f(x)$のグラフが$3$つの共有点をもつときの$a$の値を求めよ．

【３】　$a\text{，}b$を実数とする．関数$f(x)=x^3-3a^{2}x+2b$について，以下の問いに答えよ．

問１　$f(x)$が単調に増加するとき，$a$についての条件を求めよ．

問２　$y=f(x)$のグラフが$x$軸と異なる$3$点で交わるための条件を$a$と$b$を用いて表せ．

問３　$a\text{，}b$が問２で求めた条件をみたすとき，点$(a,b)$が存在する領域を座標平面上に図示せよ．

【１】　数列$\{a_n\}$が以下の漸化式をみたすとする．

$a_1=-4\text{，}{a}_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{2}}{a}_n+{\displaystyle \frac{3}{2}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

また，実数$x$の多項式$P_n(x)$を

$P_n(x)=a_{1}x+\cdots +a_n{x}^n$

で定める．このとき，以下の問いに答えよ．

問１　$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

問２　$P_n(x)$を$x-1$で割ったときの余りを求めよ．

問３　$P_n(x)$を$x-4$で割ったときの余りが$-24$になるように，$n$の値を定めよ．

【２】　$n$を自然数とする．以下の問いに答えよ．

問１　三角関数の加法定理を用いて次の等式を示せ．

$2\cos \alpha \sin \beta =\cos (\alpha +\beta )-\sin (\alpha -\beta )$

問２　数学的帰納法によって，次の等式を証明せよ．

$2\sin {\displaystyle \frac{\theta }{2}}{\displaystyle \sum _{l=1}^n}\cos l\theta =\sin (n+{\displaystyle \frac{1}{2}})\theta -\sin {\displaystyle \frac{\theta }{2}}$

問３　$m$を整数とする．$\theta \ne 2m\pi$のとき，次の不等式が成り立つことを証明せよ．ただし，等号が成立する条件は調べなくてよい．

$|{\displaystyle \sum _{l=1}^n}\cos l\theta |\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}(1+{|\sin {\displaystyle \frac{\theta }{2}}|}^{-1})$

【１】　関数$y=e^{-x}$で表される曲線を$C$とする．また，$t$は$0<t<2$をみたす実数とし，$x=t$における曲線$C$の接線を$l$とする．以下の問いに答えよ．

問１　接線$l$の方程式を求めよ．

問２　$y$軸，曲線$C$および接線$l$で囲まれた部分の面積を$S_1(t)\text{，}x$軸，直線$x=3\text{，}$曲線$C$および接線$l$で囲まれた部分の面積を$S_2(t)$とする．$S_1(t)+S_2(t)$を求めよ．

問３　問２で求めた$S_1(t)+S_2(t)$の最小値を求めよ．

【２】　$a$を$1$以上の実数，$b$を実数，$i$を虚数単位とし，複素数$z$を$z=a+bi$とする．また，複素数$w$を$w={\displaystyle \frac{1}{z}}$とする．以下の問いに答えよ．

問１　複素数$z$が存在する領域を複素数平面上に図示せよ．また，$iz$が存在する領域を複素数平面上に図示せよ．

問２　$x\text{，}y$を実数とし，$w=x+yi$とおくとき，$a$を$x$および$y$を用いて表せ．

問３　$w$が存在する領域を複素数平面上に図示せよ．