2016　岩手県立大学　前期MathJax

【１】　$\mathrm{AB}=2\text{，}\mathrm{AD}=7\text{，}\mathrm{AE}=4$である直方体$\mathrm{ABCD}‐\mathrm{EFGH}$において，辺$\mathrm{CG}\text{，}\mathrm{HD}$を$1:3$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とする．このとき，以下の問いに答えなさい．

[問１]　$\mathrm{EP}$の長さを求めなさい．

[問２]　$\cos \angle \mathrm{EQP}$の値を求めなさい．

[問３]　$▵\mathrm{EPQ}$の面積を求めなさい．

[問４]　点$\mathrm{A}$から$▵\mathrm{EPQ}$に下ろした垂線の長さを求めなさい．

【２】　数列$a_1\text{，}{a}_2\text{，}\cdots \text{，}{a}_n\text{，}\cdots$の初項から第$n$項までの和$S_n$が次の式を満たす．このとき，以下の問いに答えなさい．

$S_n=2a_n-4n-5$（$n$は自然数）

[問１]　$a_1$を求めなさい．

[問２]　$a_n$を用いて$a_{n+1}$を表しなさい．

[問３]　$a_n$を用いずに，$n$を用いて$S_n$を表しなさい．

【３】　以下の問いに答えなさい．

[問１]　次の方程式を満たす整数$m\text{，}n$のうち，$|m+n|$の値が最も小さくなる組を求めなさい．

$59m+51n=2$

【３】　以下の問いに答えなさい．

[問２]　二進法で表された数$x$について，次の問いに答えなさい．なお，$x$における整数部分と小数部分の桁数は，いずれも最大$5$桁とする．

(a)　$x$の最大値を求め，十進法で表した結果を小数で答えなさい．

(b)　$|{3.141}_{(10)}-x|$が最小となる$x$を求め，二進法で表した結果を答えなさい．

(c)　(b)で求めた$x$について，$x\times 8_{(10)}$を求め，二進法で表した結果を答えなさい．

【４】　放物線$y=x^2-3$上における任意の点$\mathrm{P}$から放物線$y=x^2$に$2$本の接線を引き，それぞれの接点を$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$とする．放物線$y=x^2$と直線$\mathrm{QR}$で囲まれた図形の面積を$S$とするとき，以下の問いに答えなさい．

[問１]　点$\mathrm{P}$の$x$座標が$\sqrt{3}$のとき，次の問いに答えなさい．

(a)　接点$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$の座標を，それぞれ求めなさい．

(b)　面積$S$を求めなさい．

[問２]　面積$S$は，点$\mathrm{P}$の座標に関係なく一定であることを示しなさい．