2016　岩手県立大学　後期MathJax

【１】　整式$P(x)$を${(x+3)}^2$で割ったときの余りが$3x-5$である．このとき，以下の問いに答えなさい．

[問１]　$P(x)$を$x+3$で割ったときの余りを求めなさい．

[問２]　$P(x)$を$x-1$で割ったときの余りが$-18$であるとする．このとき，$P(x)$を${(x+3)}^2(x-1)$で割った余りを求めなさい．

[問３]　$P(x)$を，実数を係数とする$3$次の多項式としたとき，$P(x)=0$の解を$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$とする．解のひとつが$-3+i$であるとき，${\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2$の値を求めなさい．

【２】　実数の定数$a$に対して，

$t=3^{x-1}+3^{1-x}$

$y=-(9^{x-1}+9^{1-x})+a(3^{x-1}+3^{1-x})$

とおく．このとき，以下の問いに答えなさい．

[問１]　$t$の最小値を求めなさい．

[問２]　$t$を用いて$y$を表しなさい．

[問３]　$y$の最大値を求めなさい．

【３】　$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が対戦を繰り返すゲームを行う．$1$回の対戦につき，$\mathrm{A}$が勝つ確率は$p$であり，$\mathrm{B}$が勝つ確率は$1-p$である（$0<p<1$）．$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$両者のポイントが$0$の状態からゲームを開始する．$1$回の対戦につき勝者に$1$ポイントが与えられ，$2$ポイント以上差がついた時点でゲームは終了する．また，$\mathrm{A}$のポイントが$\mathrm{B}$のポイントより大きいとき，$\mathrm{A}$がリードしているといい，ちょうど$n$回の対戦で$\mathrm{A}$がリードしてゲームが終了する確率を$P_n$とする．このとき，以下の問いに答えなさい．

[問１]　$P_3$と$P_4$を，それぞれ求めなさい．

[問２]　$P_n\text{（}n\geqq 1\text{）}$を求めなさい．

[問３]　$2n\text{（}n\geqq 1\text{）}$回以内の対戦で$\mathrm{A}$がリードしてゲームが終了する確率$S_n$を求めなさい．

【４】　$xy$平面上に，原点$\mathrm{O}$を中心とする，半径$a$の円$C_1$がある．また，半径$a$の円$C_2$が，$C_1$に外接しながら，すべることなく転がる．$C_2$の中心を$\mathrm{Q}$とし，$C_2$上の定点を$\mathrm{P}$とする．さらに，点$\mathrm{Q}$が座標$(2a,0)$にあるとき，点$\mathrm{P}$は座標$(3a,0)$にあるとし，$x$軸と線分$\mathrm{OQ}$のなす角を$\theta$とする．このとき，以下の問いに答えなさい．

[問１]　線分$\mathrm{PQ}$と，点$\mathrm{Q}$を始線として$x$軸に平行で$x$軸の正の方向に伸ばした半直線のなす角が$2\theta$となることを示しなさい．

[問２]　点$\mathrm{P}$の座標$(x,y)$について，$x\text{，}y$を，それぞれ$\theta$を用いて表しなさい．

[問３]　点$\mathrm{P}$の座標$(x,y)$について，$0\leqq \theta <2\pi$における$y$の最大値を求めなさい．

[問４]　$\theta$が$0\leqq \theta <2\pi$の範囲を動くとき，点$\mathrm{P}$の描く曲線の長さを求めなさい．