2016　富山県立大学　前期工学部MathJax

【１】　$4$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$が同一平面上にある．$3$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$は，$\mathrm{OA}:\mathrm{OB}=3:2\text{，}\angle \mathrm{AOB}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$を満たすとする．点$\mathrm{C}$が線分$\mathrm{OA}$の垂直二等分線と線分$\mathrm{OB}$の垂直二等分線の交点であるとき，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．

【２】　$z=\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{5}}+i\sin {\displaystyle \frac{2\pi }{5}}$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$i$は虚数単位である．

(1)　$z^n=1$となる最小の正の整数$n$を求めよ．

(2)　$z^4+z^3+z^2+z+1$の値を求めよ．

(3)　$(1+z)(1+z^2)(1+z^4)(1+z^8)$の値を求めよ．

(4)　$\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{5}}+\cos {\displaystyle \frac{4\pi }{5}}$の値を求めよ．

【３】　次の問いに答えよ．

(1)　$x>0\text{，}y>0$のとき，不等式${\displaystyle \frac{x+y}{2}}\geqq \sqrt{xy}$を証明せよ．また，等号が成り立つときを調べよ．

(2)　$a>0\text{，}b>0\text{，}c>0$で，$a\ne 1\text{，}c\ne 1$のとき，等式${\log }_{a}b={\displaystyle \frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}}$を証明せよ．

(3)　$p>1\text{，}q>1$のとき，不等式${\log }_{p}q+{\log }_{q}p\geqq 2$を証明せよ．また，等号が成り立つときを調べよ．

【４】　$k$は正の整数とする．定積分$I_k={\displaystyle {\int }_k^{k+1}}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}}dx$について，次の問いに答えよ．

(1)　$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{I}_k$とする．$S_1\text{，}{S}_2\text{，}{S}_3$を求めよ．

(2)　不等式${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{k+1}}}<I_k<{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{k}}}$が成り立つことを示せ．

(3)　$1+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{100}}}$の整数部分を求めよ．