2016　名古屋市立大　前期MathJax

【１】　関数$f(x)=x^4-2x^2+x$について，次の問いに答えよ．

(1)　曲線$y=f(x)$と$2$点で接する直線の方程式を求めよ．

(2)　曲線$y=f(x)$と(1)で求めた直線で囲まれた領域の面積を求めよ．

【２】　図１から図３は，辺の長さが$1$の正方形が並んだ図形である．これらの図において，$1$つ，またはいくつかの正方形で構成される四角形を考える．例えば，図１において灰色で示した図形は，点$\mathrm{A}$を$1$つの頂点とする幅が$3\text{，}$高さが$2$の四角形である．次の問に答えよ．

図１	図２	図３

(1)　図１の中に点$\mathrm{A}$を$1$つの頂点とする四角形はいくつあるか．

(2)　図２の中に四角形はいくつあるか．

(3)　図３の中に四角形はいくつあるか．

【３】　原点を$\mathrm{O}$とする座標空間に$3$点$\mathrm{A}(a_1,a_2,0)\text{，}\mathrm{B}(0,b_1,b_2)\text{，}\mathrm{C}(c_1,0,c_2)$をとる．ただし，$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{b}_1\text{，}{b}_2\text{，}{c}_1\text{，}{c}_2$は全て正とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$としたとき，次の問いに答えよ．

(1)　三角形$\mathrm{OAB}$の面積$S$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$の成分で表せ．

(2)　空間内の点$\mathrm{P}$を考える．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$が三角形$\mathrm{OAB}$を含む平面に垂直で大きさ$1$となるときの点$\mathrm{P}$の座標を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$の成分で表せ．

(3)　四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$の成分で表せ．

【４】　自然数$k$に対して，関数$f_k(x)=-3x^2-2x+a_k$を考える．ただし，$a_k$は$x$に無関係な数列で$a_1=2$とする．関係式${\displaystyle {\int }_0^{k+1}}{f}_{k+1}(x)dx={\displaystyle {\int }_0^k}{f}_k(x)dx-k^2-k$が満たされるとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a_k$と$a_{k+1}$との関係式を求めよ．

(2)　$a_k$を$k$の式で表せ．

(3)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle {\int }_0^k}{f}_k(x)dx$を求めよ．

【１】　座標平面上の原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円周上に，中心角$\theta$の弧$\mathrm{AB}$をとる．ただし，点$\mathrm{A}$の座標を$(1,0)\text{，}0<\theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　扇形$\mathrm{OAB}$を$x$軸の周りに$1$回転させた回転体の体積$V_1(\theta )$を求めよ．

(2)　扇形$\mathrm{OAB}$を$y$軸の周りに$1$回転させた回転体の体積$V_2(\theta )$を求めよ．

(3)　体積の差$V(\theta )=V_2(\theta )-V_1(\theta )$を$\theta$の関数として，そのグラフをかけ．

【４】　$2$次関数$y=-x^2+2x+4\text{（}-2\leqq x\leqq 3\text{）}$の表す曲線において，$x=-2\text{，}x=3$での端点をそれぞれ，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とする．また，点$\mathrm{C}$をこの曲線上の点とする．次の問いに答えよ．

(1)　この関数のグラフをかけ．

(2)　三角形$\mathrm{ABC}$の面積が$15$となるとき，点$\mathrm{C}$の座標を求めよ．

(3)　三角形$\mathrm{ABC}$の面積が最大となるとき，点$\mathrm{C}$の座標を求めよ．

(4)　三角形$\mathrm{ABC}$が$\mathrm{AC}=\mathrm{BC}$の二等辺三角形となるとき，点$\mathrm{C}$の座標を求めよ．