2016　大阪府立大学　前期MathJax

【１】　$1$から$10$までの自然数が$1$つずつ書かれた$10$個の玉が袋に入っている．この袋から$5$個の玉を同時に取り出す．取り出した$5$個の玉に書かれた数を小さい方から順に$X_1\text{，}{X}_2\text{，}{X}_3\text{，}{X}_4\text{，}{X}_5$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$X_3=3$となる確率を求めよ．

(2)　$X_5-X_1=7$となる確率を求めよ．

(3)　$X_1$が$X_3$の約数となり，かつ$X_3$が$X_5$の約数となる確率を求めよ．

【２】　右図のような$1$辺の長さが$1$の立方体$\mathrm{OABC}‐\mathrm{DEFG}$に対し，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$とおく．$0<t<{\displaystyle \frac{1}{2}}$となる$t$に対して，辺$\mathrm{AE}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{CG}$を$2t:1-2t$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$の定める平面を$\alpha$とし，平面$\alpha$と直線$\mathrm{BF}$との交点を$\mathrm{R}$とすると，四角形$\mathrm{OPRQ}$は平行四辺形である．平行四辺形$\mathrm{OPRQ}$の面積を$S\text{，}$四角錐$\mathrm{DOPRQ}$の体積を$V$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$を$t$を用いて表せ．

(2)　$S$を$t$を用いて表せ．

(3)　平面$\alpha$に点$\mathrm{D}$から垂線$\mathrm{DH}$を下ろす．$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{c}\text{，}\overrightarrow{d}$と$t$を用いて表せ．

(4)　$V$は$t$によらず一定であることを示せ．

【３】　楕円$C_1\text{：}{\displaystyle \frac{x^2}{9}}+{\displaystyle \frac{y^2}{5}}=1$の焦点を$\mathrm{F}\text{，}{\mathrm{F}}^{\prime }$とする．ただし，$\mathrm{F}$の$x$座標は正である．正の実数$m$に対し，$2$直線$y=mx\text{，}y=-mx$を漸近線にもち，$2$点$\mathrm{F}\text{，}{\mathrm{F}}^{\prime }$を焦点とする双曲線を$C_2$とする．第$1$象限にある$C_1$と$C_2$の交点を$\mathrm{P}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$C_2$の方程式を$m$を用いて表せ．

(2)　線分$\mathrm{FP}$および線分${\mathrm{F}}^{\prime }\mathrm{P}$の長さを$m$を用いて表せ．

(3)　$\angle {\mathrm{F}}^{\prime }\mathrm{PF}=60\mathrm{°}$となる$m$の値を求めよ．

【３】　以下の問いに答えよ．

(1)　次の等式が成り立つことを示せ．

$\cos (\alpha +\beta )\sin \alpha -\cos \alpha \sin (\alpha -\beta )=\cos 2\alpha \sin \beta$

(2)　$k\text{，}n$を自然数とし，$\theta$は$\sin \theta \ne 0$を満たすとする．(1)の等式で$\alpha =k\theta \text{，}\beta =\theta$とおくことにより次の等式が成り立つことを示せ．

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}\cos 2k\theta ={\displaystyle \frac{\cos (n+1)\theta \sin n\theta }{\sin \theta }}$

(3)　${\displaystyle \sum _{k=1}^{100}}{\cos }^2{\displaystyle \frac{k\pi }{100}}$の値を求めよ．

【４】　$0<a<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とし，$f(t)={\displaystyle {\int }_0^a}|\sin x-\sin t|dx$とおく．また，$f(t)$の$0<t<a$における最小値を$g(a)$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$0<t<a$のとき，$f(t)$を求めよ．

(2)　$g(a)$を求めよ．

(3)　$\underset{a\to +0}{\lim }{\displaystyle \frac{g(a)}{a^2}}$を求めよ．

【４】　正の実数$a$に対して，$y=a{x}^2$のグラフを$C_1\text{，}y={\displaystyle \frac{a^2-1}{a}}{x}^2+{\displaystyle \frac{2}{a}}x-{\displaystyle \frac{1}{a}}$のグラフを$C_2$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$C_1$と$C_2$の共有点は点$(1,a)$のみであることを示せ．

(2)　$C_2$と$x$軸の$0<x<1$の部分との交点は，点$({\displaystyle \frac{1}{a+1}},0)$のみであることを示せ．

(3)　$C_1$の$0\leqq x\leqq 1$の部分，$C_2$の${\displaystyle \frac{1}{a+1}}\leqq x\leqq 1$の部分，および$x$軸の$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{1}{a+1}}$の部分とで囲まれる図形の面積を$S$とする．$S$を$a$を用いて表せ．

(4)　$a$がすべての正の実数を動くとき，(3)で求めた面積$S$の最大値を求めよ．