2016　兵庫県立大学　前期MathJax

2016-11613-0101

2016　兵庫県立大学　前期

経済・経営

(1)，(2)あわせて配点率20％

易□　並□　難□

【１】　次の問に答えなさい．

(1)　 $n$ 個の整数 $1 ， 2 ， \dots ， n$ の順列 $[a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}]$ に対して，整数

$S = S ([a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}])$ $= a_{1} + | a_{2} - a_{1} | + | a_{3} - a_{2} | + \dots + | a_{n} - a_{n - 1} |$

を対応させる．このとき， $S$ の最小値を求め，この最小値を与えるような順列を $1$ つ答えなさい．また， $n = 5$ のとき， $S ([a_{1}, a_{2}, \dots, a_{5}]) = 15$ となるような順列 $[a_{1}, a_{2}, \dots, a_{5}]$ を $1$ つ答えなさい．

2016-11613-0102

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経済・経営

(1)，(2)あわせて配点率20％

易□　並□　難□

【１】　次の問に答えなさい．

(2)　 $m ， n ， p ， q$ を整数， $\frac{m}{p}$ と $\frac{n}{q}$ を既約分数とする．ただし， $p > 0 ， q > 0$ とする．このとき， $\frac{m}{p} + \frac{n}{q}$ が整数となるための必要十分条件は $p = q$ かつ $p$ が $m + n$ の約数であることを証明しなさい．

2016-11613-0103

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経済・経営

配点率20％

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【２】　座標原点を $O$ とする座標空間内に，平面 $S$ と円筒 $R$ がある． $S$ の方程式は， $y + z - 2 = 0$ であり， $R$ の $x y$ 平面による切り口は，原点を中心とする半径 $1$ の円である．また， $R$ の $S$ による切り口の曲線を $C$ とし， $P$ を曲線 $C$ 上の点とする． $z$ 軸上の点 $Q (0, 0, 3)$ に対し， $z$ 軸と直線 $QP$ を含む平面に含まれ，直線 $QP$ と点で垂直に交わる直線を $l$ とする． $l$ に平行な単位ベクトルを $\vec{n (P)}$ として，次の問に答えなさい．

(1)　ベクトル $\vec{OP}$ の $y$ 成分を $p$ とするとき， $\vec{OP}$ の成分を $p$ を用いて表しなさい．

(2)　 $\vec{n (P)}$ の $z$ 成分を $n_{z}$ とする． $n_{z} ≧ 0$ のとき， $n_{z}$ を $p$ を用いて表しなさい．

(3)　 $l$ と直線 $OP$ との成す角を $θ (0 ≦ θ ≦ \frac{π}{2})$ とし，点 $P$ が曲線 $C$ 上を動くとき， $θ$ を最大にする $p$ の値，さらに，そのときの $\cos θ$ の値をそれぞれ求めなさい．

2016-11613-0104

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経済・経営

配点率20％

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【３】　放物線 $y = f (x) = x^{2} + 2 x - c （ c > 0 ）$ について次の問に答えなさい．

(1)　 $y = f (x)$ のグラフを $y$ 軸に関して対称に移動し，移動したグラフを，さらに $x$ 軸に関して対称に移動して得られる放物線を $y = g (x)$ とする． $g (x)$ を求めなさい．

(2)　放物線 $y = f (x)$ と $y = g (x)$ とで囲まれる部分の面積 $S$ を $c$ を用いて表しなさい．

(3)　放物線 $y = f (x)$ と $x$ 軸とで囲まれる部分の面積 $T$ が，(2)で求めた面積 $S$ と等しくなるような $c$ の値を $1$ つ求めなさい．

2016-11613-0105

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経済・経営

配点率20％

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【４】　三角形 $ABC$ の最大辺を $BC ，$ 最小辺を $AB$ とし， $AB = c ， BC = a ， CA = b$ とする（ $a ≧ b ≧ c$ ）．また，三角形 $ABC$ の面積を $S$ とする．次の問に答えなさい．

(1)　次の不等式が成り立つことを示しなさい．

$S ≦ \frac{\sqrt{3}}{4} a^{2}$

(2)　三角形 $ABC$ が鋭角三角形のときは次の不等式も成り立つことを示しなさい．

$\frac{\sqrt{3}}{4} c^{2} ≦ S$

2016-11613-0106

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経済・経営

配点率20％

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【５】　カードが $5$ 枚あり，それぞれのカードには $1$ から $5$ のうちの $1$ つの数字が書かれている．ただし，異なるカードには異なる数字が書かれているとする．これらのカードの中から最初にカードを $1$ 枚引き，そのカードに書かれた数字は $X$ であったとする．次に，引いたカードを戻して， $X$ より大きな数字が書かれたカードを取り除く．残った $X$ 以下の数字に書かれたカードの中からカードを $1$ 枚引き，そのカードに書かれた数字は $Y$ であったとする．このとき，以下の確率を求めなさい．

(1)　 $X = 5$ かつ $Y = 1$ である確率

(2)　 $X = 4$ であったときに， $Y = 1$ である確率

(3)　 $X > Y$ である確率

(4)　 $Y = 1$ である確率

(5)　 $Y = 1$ であったときに， $X = 3$ である確率

2016-11613-0107

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工学部

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【１】　 $a > 0$ とする． $x > 0$ で定義された関数 $y = x^{2} + a x - 3 a^{2} \log x$ のグラフが $x$ 軸と共有点をもつような $a$ の範囲を求めよ．

2016-11613-0108

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工学部

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【２】　曲線 $y = e^{- x^{2}}$ と直線 $y = \frac{1}{e}$ で囲まれた図形を $y$ 軸のまわりに $1$ 回転してできる立体の体積を求めよ．

2016-11613-0109

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工学部

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【３】　三角形 $ABC$ の辺 $BC$ を $1 : 2$ に内分する点を $D ，$ 辺 $CA$ を $1; 2$ に内分する点を $E ，$ 辺 $AB$ を $1 : 2$ に内分する点を $F$ とする．また線分 $AD$ と線分 $BE$ の交点を $P ，$ 線分 $BE$ と線分 $CF$ の交点を $Q ，$ 線分 $CF$ と線分 $AD$ の交点を $R$ とする．

(1)　 $\vec{AP} = l \vec{AB} + m \vec{AC}$ とするとき， $l$ と $m$ の値を求めよ．

(2)　三角形 $ABC$ の面積が $1$ のとき，三角形 $PQR$ の面積を求めよ．

2016-11613-0110

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工学部

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【４】　 $i$ を虚数単位とし， $α = \cos \frac{2 π}{7} + i \sin \frac{2 π}{7}$ とする．

(1)　 $α + α^{2} + α^{3} + α^{4} + α^{5} + α^{6} = - 1$ が成立することを示せ．

(2)　 $z = α + α^{2} + α^{4}$ とするとき， $z + \overline{z}$ と $z \overline{z}$ を求めよ．ここで $\overline{z}$ は $z$ の共役複素数である．

(3)　 $α + α^{2} + α^{4}$ を求めよ．

2016-11613-0111

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工学部

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【５】　 $C$ を媒介変数 $t （ 0 ≦ t ≦ π ）$ を用いて $x = 1 - \cos t ， y = 2 \sin t + \sin 2 t$ と表される座標平面上の曲線とする．

(1)　曲線 $C$ 上で $y$ 座標が最大となる点の座標を求め，曲線 $C$ の概形をかけ．

(2)　曲線 $C$ と $x$ 軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．