2016　奈良県立医科大学　前期医学科MathJax

【１】　$x$は$0\leqq x\leqq 9$を満たす整数とし，$x^3-9x^2+18x=t$とする．$\left|t\right|$の一の位が$0$となる$x$をすべて求めよ．

【２】　$\sin \theta =t$とする．$\sin 5\theta$を$t$の整式で表したときの$t^3$の係数を求めよ．

【３】　不等式

$|x^2-2x-3|>3$

を解け．

【４】

$b=a+{\displaystyle \frac{1}{a}}$

とする．

$a^5+{\displaystyle \frac{1}{a^5}}$

を$b$の多項式で表せ．

【５】　右図のように，$\mathrm{AB}=63\text{，}\mathrm{BC}=52\text{，}\mathrm{CA}=25$である三角形に内接する長方形を作る．このような長方形の面積の最大値を求めよ．

【６】　$0\leqq x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$において，曲線$y=a\sin x$（$a$は定数）を$C_1\text{，}$曲線$y=\tan x$を$C_2$とする．$a>1$であるとき，$2$つの曲線$C_1$と$C_2$で囲まれる部分の面積を求めよ．

【７】

$a_1={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}{a}_{n+1}={\displaystyle \frac{a_n}{2-a_n}}$

で与えられる数列$\{a_n\}$の$a_{11}$を求めよ．

【８】　$y$軸上に点$\mathrm{A}\text{，}x$軸上に点$\mathrm{B}$という異なる$2$点をとる．線分$\mathrm{AB}$を$a:b$に外分する点を$\mathrm{C}$とし，その座標を$(p,q)$とする．このとき$b^2{p}^2+a^2{q}^2$の値を$p\text{，}q$を用いずに表せ．

【９】　一辺の長さが$2$である正四面体$\mathrm{OABC}$がある．辺$\mathrm{OA}$上に$\mathrm{OD}:\mathrm{OA}=2:1\text{，}$辺$\mathrm{BC}$上に$\mathrm{BE}:\mathrm{EC}=3:2$となるように点$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}$をとる．三角形$\mathrm{ODE}$の面積を求めよ．

【10】　一辺の長さが$5$である正三角形$\mathrm{ABC}$とその外接円がある．図のように，点$\mathrm{D}$を直線$\mathrm{BC}$に関して点$\mathrm{A}$と異なる側で$\mathrm{AD}=6$となるようにとる．このとき，線分$\mathrm{BD}+\mathrm{CD}$の長さを求めよ．

【11】　複素数平面上に，原点$\mathrm{O}$とは異なる$2$点$\mathrm{A}(\alpha )\text{，}\mathrm{B}(\beta )$があり，

$\beta =(1-i)\alpha$

を満たしている．このとき，$▵\mathrm{OAB}$はどのような三角形か求めよ．

【12】　次の極限値を求めよ．

$\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{\sqrt{1-\tan 2x}-\sqrt{1+\tan 2x}}{x}}$

【13】

${\displaystyle {\int }_1^2}{(\log x)}^{3}dx$

を求めよ．

【14】　以下の(A)，(B)，(C)の真偽の組合せとして正しいものをアからクの中から選べ．

(A)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=+\infty \text{，}\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n=+\infty$ならば，$\underset{n\to \infty }{\lim }(a_n-b_n)=0$である．

(B)　数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$が収束して，$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\alpha \text{，}\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n=\beta$ならば，$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{a_n}{b_n}}={\displaystyle \frac{\alpha }{\beta }}$である．

(C)　$n\to \infty$のとき，数列$\{a_n{b}_n\}$が収束するならば，$2$つの数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$はともに収束する．

• ア.　(A)真，(B)真，(C)真
• イ.　(A)真，(B)真，(C)偽
• ウ.　(A)真，(B)偽，(C)真
• エ.　(A)真，(B)偽，(C)偽
• オ.　(A)偽，(B)真，(C)真
• カ.　(A)偽，(B)真，(C)偽
• キ.　(A)偽，(B)偽，(C)真
• ク.　(A)偽，(B)偽，(C)偽

【15】　次のデータの相関係数を求めよ．