2016　和歌山県立医科大学　前期MathJax

2016　和歌山県立医科大学　前期

易□　並□　難□

(2)　自然数 $m ， n$ を $m < n$ のようにとる． $m$ 個の自然数 $a_{1} ， a_{2} ， \dots ， a_{m}$ を

$1 ≦ a_{1} < a_{2} < \dots < a_{m} ≦ n$

のようにとり，和 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{m}$ を考える．この形で表される自然数は何個あるか．

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易□　並□　難□

$a_{1} = 1 ， a_{2} = 1 ， a_{n + 2} = a_{n + 1} + 6 a_{n} （ n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ）$

次の問いに答えよ．

(1)　自然数 $n$ に対し， $a_{n + 2} - p a_{n + 1} = q (a_{n + 1} - p a_{n})$ をみたすような数 $p ， q$ を求めることにより，数列 ${a_{n}}$ の一般項を求めよ．

(2)　自然数 $m ， n$ に対し， $a_{m + n + 1} = a_{m + 1} a_{n + 1} + 6 a_{m} a_{n}$ が成り立つことを証明せよ．

(3)　自然数 $m ， n$ に対し， $m$ が $n$ で割り切れるとき， $a_{m}$ は $a_{n}$ で割り切れることを証明せよ．

(4)　 $a_{12}$ を素因数分解せよ．

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(2)　 $2$ 次方程式 $x^{2} - 2 x + 4 = 0$ の解を $α ， β$ とする．ただし， $α$ の虚部は正であるとする．等式

$\arg \frac{z - α^{2}}{z - β^{2}} = \frac{π}{2}$

をみたす $z$ が，複素数平面上で描く図形を図示せよ．