2016　青山学院大学　理工学部A方式

(1)　硬貨を$2$回投げるとき，$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$が赤い箱をもっている確率は，それぞれ${\displaystyle \frac{\text{1}}{\text{2}}}\text{，}$${\displaystyle \frac{\text{3}}{\text{4}}}\text{，}$${\displaystyle \frac{\text{5}}{\text{6}}}$である．

(2)　硬貨を$3$回投げるとき，$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$が赤い箱をもっている確率は，それぞれ${\displaystyle \frac{\text{7}}{\text{8}}}\text{，}$${\displaystyle \frac{\text{9}}{\text{10}}}\text{，}$${\displaystyle \frac{\text{11}}{\text{12}}}$である．

(3)　硬貨を$4$回投げるとき，$\mathrm{A}$が赤い箱をもっている確率は${\displaystyle \frac{\text{13}}{\text{14}}}$である．

(4)　硬貨を$5$回投げるとき，$\mathrm{A}$が赤い箱をもっている確率は${\displaystyle \frac{\text{15}\text{16}}{\text{17}\text{18}}}$である．

$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}$$\mathrm{A}(3,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}(3,3,0)\text{，}$$\mathrm{C}(0,3,0)\text{，}$

$\mathrm{D}(0,0,6)\text{，}$$\mathrm{E}(3,0,6)\text{，}$$\mathrm{F}(3,3,6)\text{，}$$\mathrm{G}(0,3,6)$

がある．$4$点$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}$を通る平面を$\alpha \text{，}$$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{F}$を通る平面を$\beta$とする．また，$3$平面$\alpha \text{，}$$\beta$および$x=3$の共有点を$\mathrm{H}$とする．$2$点$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{H}$を通る直線は，$2$平面$\alpha \text{，}$$\beta$の交線である．

　直方体$\mathrm{OABC‐DEFG}$を平面$\alpha$と平面$\beta$で切ると$4$個の立体ができる．そのうち頂点$\mathrm{O}$を含むものを$V$とする．$V$を平面$y=1$で切った切り口の面積を以下の手順で求める．

(1)　点$\mathrm{H}$の座標は$(\text{19},{\displaystyle \frac{\text{20}}{\text{21}}},\text{22})$である．

(2)　平面$y=1$と直線$\mathrm{AH}$の交点の座標は$(\text{23},1,\text{24})$である．

(3)　線分$\mathrm{DH}$上の点$\mathrm{P}$の位置ベクトルは$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}+k\overrightarrow{\mathrm{DH}}$$\text{（}0\leqq k\leqq 1\text{）}$と表すことができる．$\mathrm{P}$が平面$y=1$と線分$\mathrm{DH}$の交点となるのは，$k={\displaystyle \frac{\text{25}}{\text{26}}}$のときで，その座標は$(\text{27},1,\text{28})$である．

(4)　立体$V$を平面$y=1$で切った切り口の面積は$\text{29}\text{30}$である．

(1)　$z$が複素数平面上で円$\left|z\right|=1$上を動くとき，$w$が複素数平面上で描く図形を図示せよ．

(2)　$w$が実数となるような$z$全体が表す複素数平面上の図形を図示せよ．

(3)　$z$が(2)で求めた図形上にあって，かつ$|z-2|\leqq 4$であるとき，$|z-3-4i|$の最大値を求めよ．

(1)　すべての$n$に対して$2<a_n<3$であることを示せ．

(2)　$x_n={\displaystyle \frac{1}{3-a_n}}$とおくとき，数列$\{x_n\}$の満たす漸化式を求めよ．また，その一般項を求めよ．

(3)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

$f_0(x)=\log x\text{，}$$f_n(x)={\displaystyle \frac{\log x}{x^n}}$$\text{（}n\geqq 1\text{）}\text{，}$

$F_n(x)={\displaystyle {\int }_1^x}{f}_n(t)\mathit{dt}$$\text{（}n\geqq 0\text{）}$

によって定めるとき，次の問に答えよ．

(1)　$F_0(x)\text{，}$$F_1(x)$を求めよ．

(2)　$n\geqq 2$のとき，$f_{n-1}(x)$の導関数$f_{n-1}^{\prime }(x)$を$f_n(x)$を用いて表せ．

(3)　$n\geqq 2$のとき，$F_n(x)$を求めよ．