2016　慶応義塾大学　薬学部MathJax

【１】(1)　整式$P(x)$は実数を係数にもつ$x$の$3$次式であり，$x^{\mathrm{３}}$の係数は$1$である．$P(x)$を$x-7$で割ると$8$余り，$x-9$で割ると$12$余る．方程式$P(x)=0$は$a+bi$を解に持つ．$a\text{，}b$は$1$桁の自然数であり，$i$は虚数単位とする．

　ただし，$a\text{，}b$の組み合せは，$2a+b$が連続する$2$つの整数の積の値と等しくなるもののうち，$a-b$が最大となるものとする．このとき，

(ⅰ)　整式$P(x)$を$(x-7)(x-9)$で割ると，余りは$\boxed{\text{(1)}}x-\boxed{\text{(2)}}$である．

(ⅱ)　$a=\boxed{\text{(3)}}\text{，}b=\boxed{\text{(4)}}$であり，方程式$P(x)=0$の実数解は$\boxed{\text{(5)}}$である．

【１】(2)　$xy$平面上に曲線$C_1\text{：}y=-x^2-x+8$がある．$C_1$上の動点$\mathrm{A}$を点$(1,2)$に関して対称移動した点$\mathrm{B}$の軌跡を$C_2$とする．

　$C_1$と$C_2$の$2$つの交点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$\alpha \text{，}\beta \text{（}\alpha <\beta \text{）}$とし，また，$C_1\text{，}{C}_2$と直線$x=k$との交点をそれぞれ$\mathrm{R}\text{，}\mathrm{S}$とする．ただし，$k$は$\alpha <k<\beta$を満たす実数とする．このとき，

(ⅰ)　$C_2$の方程式は$y=x^2-\boxed{\text{(6)}}x+\boxed{\text{(7)}}$である．

(ⅱ)　三角形$\mathrm{QRS}$の面積は$k={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(8)}}}{\boxed{\text{(9)}}}}$で最大となる．

【１】(3)　$xy$平面上に，原点$\mathrm{O}$を中心とする単位円$C$と，$y$軸の正の部分を始線として点$\mathrm{O}$を中心に回転する$2$つの動径$L_1\text{，}{L}_2$がある．円$C$と$L_1\text{，}{L}_2$との交点をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とする．動径$L_1\text{，}{L}_2$の表す角をそれぞれ${\theta }_1\text{，}{\theta }_2$とおき，${\theta }_1=2\pi t\text{，}{\theta }_2=-\pi t$とする．ただし$t$は，$t\geqq 0$を満たす実数である．このとき，

(ⅰ)　点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$が一致する$t$のうち，$t=0$を除く最小の$t$の値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(10)}}}{\boxed{\text{(11)}}}}$である．

(ⅱ)　点$\mathrm{P}$の$y$座標と点$\mathrm{Q}$の$y$座標の和の最小値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(12)(13)}}}{\boxed{\text{(14)}}}}$である．

【１】(4)　直角三角形$\mathrm{AOB}\text{（}\angle \mathrm{AOB}=90\mathrm{°}\text{）}$に内接する半径$r$の円の中心を$\mathrm{P}$とする．辺$\mathrm{AB}$との円の接点を$\mathrm{Q}$とし，線分$\mathrm{AQ}$の長さを$a\text{，}$線分$\mathrm{BQ}$の長さを$b$とする．三角形$\mathrm{AOB}$に対して，自然数$l\text{，}m\text{，}n\text{（}n<m<l\text{）}$は，$l\overrightarrow{\mathrm{OP}}+m\overrightarrow{\mathrm{AP}}+n\overrightarrow{\mathrm{BP}}=\overrightarrow{0}$を満たす．このとき，

(ⅱ)　三角形$\mathrm{AOB}$の$3$辺の長さの合計は$\boxed{\text{(15)}}a+\boxed{\text{(16)}}b+\boxed{\text{(17)}}r$である．

(ⅱ)　$l=17$のとき，$m=\boxed{\text{(18)(19)}}\text{，}n=\boxed{\text{(20)}}$であり，${\displaystyle \frac{a}{b}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(21)}}}{\boxed{\text{(22)(23)}}}}$である．

【２】　$2$つの関数$f(x)=x^3-x^2-x+c\text{，}g(x)=4x+1$がある．$x$は$0\leqq x\leqq a$を満たす．ただし，$a$は整数，$c$は実数とする．

　$xy$平面上の曲線$y=f(x)$上の異なる$2$点$(0,f(0)\text{，}(a,f(a))$を結ぶ直線は，$x={\displaystyle \frac{a}{3}}$における$y=f(x)$の接線と直交する．このとき，

(1)　$a=\boxed{\text{(24)}}$である．

(2)　$c=0$のとき，関数$f(x)$の最大値は$\boxed{\text{(25)}}$である．

(3)　方程式$f(x)=g(x)$が$2$つの異なる実数解を持つような$c$の値の範囲は$\boxed{\text{(26)}}\leqq c<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(27)(28)(29)}}}{\boxed{\text{(30)(31)}}}}$である．

【３】　数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$はそれぞれ公比を$r_a$（ただし$r_a=-1$を除く），$r_b$とする等比数列である．$a_2-a_1=2+\sqrt{5}$であり，$a_3-a_1$は$a_2+a_1$の${\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}}$倍である．$\{b_n\}$は，$b_n={\left({\displaystyle \frac{7-3\sqrt{5}}{2}}\right)}^n{a}_n$とする．また，数列$\{c_n\}$は，$c_n={\displaystyle \frac{1}{r_a-r_b}}(a_n-b_n)$とする．ただし，$n$は自然数とする．このとき，

(1)　$r_a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(32)}}+\sqrt{\boxed{\text{(33)}}}}{\boxed{\text{(34)}}}}$である．

(2)　$c_4=\boxed{\text{(35)(36)}}$である．

(3)　${\displaystyle \frac{c_{16}}{c_8}}=\boxed{\text{(37)(38)(39)(40)}}$である．

【４】　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の$3$チームが試合を行う．第$1$試合に$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が対戦する．第$2$試合以降は，直前の試合に勝ったチームが残りの$1$チームと対戦することを繰り返す．最初に$2$連勝したチームを優勝とする．いずれのチームも試合に勝つ確率は${\displaystyle \frac{1}{2}}$であり，各試合に引き分けはないものとする．このとき，

(1)　第$5$試合で$\mathrm{A}$が優勝する確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(41)}}}{\boxed{\text{(42)(43)}}}}$であり，第$6$試合で$\mathrm{C}$が優勝する確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(44)}}}{\boxed{\text{(45)(46)}}}}$である．

(2)　第$6$試合もしくはそれ以前に$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$が優勝する確率は，それぞれ${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(47)(48)}}}{\boxed{\text{(49)(50)}}}}\text{，}{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(51)}}}{\boxed{\text{(52)(53)}}}}$である．

(3)　$\mathrm{A}$が第$1$試合で勝ち，かつ$\mathrm{A}$が第$3n$試合もしくはそれ以前に優勝する確率を$n$の式で表すと，${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(54)}}}{\boxed{\text{(55)}}}}\{\boxed{\text{(56)}}-{\left({\displaystyle \frac{\boxed{\text{(57)}}}{\boxed{\text{(58)}}}}\right)}^n\}$である．ただし，$n$は自然数とする．