2016　慶応義塾大学　理工学部MathJax

【１】(1)　$2016$の正の約数は全部で$\boxed{\text{(ア)}}$個あり，それらの平均は$\boxed{\text{(イ)}}$である．

【１】(2)　$0\leqq \theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．座標平面上に$3$点${\mathrm{P}}_0$$(1,0)\text{，}$${\mathrm{P}}_1$$(\cos \theta ,\sin \theta )\text{，}$${\mathrm{P}}_2(\cos 2\theta ,\sin 2\theta )$がある．$x$軸に関して，点${\mathrm{P}}_2\text{，}$${\mathrm{P}}_1$と対称な点をそれぞれ${\mathrm{P}}_3\text{，}$${\mathrm{P}}_4$とし，さらに，四角形${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2{\mathrm{P}}_3{\mathrm{P}}_4$の面積を$S_1(\theta )\text{，}$三角形${\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_4$の面積を$S_2(\theta )$とする．

(ⅰ)　$S_1\left({\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)=\boxed{\text{(ウ)}}$である．

(ⅱ)　$\underset{\theta \to +0}{\lim }{\displaystyle \frac{S_1(\theta )}{S_2(\theta )}}=\boxed{\text{(エ)}}$である．

(ⅲ)　$S_1(\theta )$は$\cos \theta =\boxed{\text{(オ)}}$のとき最大値$\boxed{\text{(カ)}}$をとる．

【２】　$f(x)$は$2$次関数であり，$f(0)=f(1)=0$を満たすとする．

(1)　$a={\displaystyle \frac{1}{2}}{f}^{″}(0)$とする．このとき，$f(x)$は$a$を用いて$f(x)=\boxed{\text{(キ)}}$と表される．

(2)　定積分

${\displaystyle {\int }_0^1}\{{(f^{\prime }(x)-x)}^2-f(x)\}dx$

の値が最も小さくなるのは$f(x)=\boxed{\text{(ク)}}$のときである．また，そのときの定積分の値は$\boxed{\text{(ケ)}}$である．

　以下では，$F(x)=\boxed{\text{(ク)}}\text{，}m=\boxed{\text{(ケ)}}$とする．

(3)　関数$h(x)$は$h(0)=h(1)=0$を満たし，その導関数$h^{\prime }(x)$は連続であるとする．さらに，$I$と$J$を

$I={\displaystyle {\int }_0^1}\{{(f^{\prime }(x)+h^{\prime }(x)-x)}^2-(f(x)+h(x))\}dx$

$J={\displaystyle {\int }_0^1}\{{(f^{\prime }(x)-x)}^2-f(x)\}dx+{\displaystyle {\int }_0^1}{(h^{\prime }(x))}^{2}dx$

で定める．このとき，等式

$I=J$

を証明しなさい．

(4)　関数$g(x)$は$g(0)=g(1)=0$を満たし，その導関数$g^{\prime }(x)$は連続であるとする．このとき，不等式

${\displaystyle {\int }_0^1}\{{(g^{\prime }(x)-x)}^2-g(x)\}dx\geqq m$

を証明しなさい．

【３】　$6$枚の硬貨に$1$から$6$まで番号を$1$つずつ付け，はじめにすべて表向きにして並べておき，以下の操作を繰り返す．

例えば，$1$回目にさいころを$2$個投げて$2$と$4$の目が出たとすると，番号$2\text{，}3\text{，}4$の硬貨を裏返すので硬貨の向きは番号$1$の硬貨から順に，表，裏，裏，裏，表，表となる．続いて$2$回目にさいころを$2$個投げて$2$個とも$3$の目が出たとすると，番号$3$の硬貨のみを裏返すので硬貨の向きは番号$1$の硬貨から順に表，裏，表，裏，表，表となる．

(1)　$1$回目の操作を終えたとき番号$3$の硬貨の向きが表である確率は$\boxed{\text{(コ)}}$であり，$2$回目の操作を終えたとき番号$3$の硬貨の向きが表である確率は$\boxed{\text{(サ)}}$である．また，$2$回目の操作を終えたとき番号$3$と番号$4$の硬貨のうち少なくとも一方の向きが表である確率は$\boxed{\text{(シ)}}$である．

(2)　$n$回目の操作を終えたとき番号$3$と番号$4$の$2$つの硬貨の向きがともに表である確率を$p_n\text{，}$ともに裏である確率を$q_n$とする．このとき，関係式

$p_{n+1}-q_{n+1}=\boxed{\text{(ス)}}(p_n-q_n)+\boxed{\text{(セ)}}$

$p_{n+1}+q_{n+1}=\boxed{\text{(ソ)}}(p_n+q_n)+\boxed{\text{(タ)}}$

が成り立ち，$p_n$を$n$を用いて表すと$p_n=\boxed{\text{(チ)}}$となる．ただし，$\boxed{\text{(ス)}}\text{〜}\boxed{\text{(タ)}}$には数を記入すること．

【４】　$i$を虚数単位とする．次の事実がある．

(1)　等式

${(\cos {\displaystyle \frac{4}{5}}\pi +i\sin {\displaystyle \frac{4}{5}}\pi )}^k=\cos {\displaystyle \frac{2}{5}}\pi +i\sin {\displaystyle \frac{2}{5}}\pi$

を満たす最小の正の整数$k$は$\boxed{\text{(ツ)}}$である．

(2)　$a\text{，}b$を互いに素な正の整数とし，集合$P$を

$P=\left\{z\right|z$は整数$k$を用いて${(\cos {\displaystyle \frac{2a}{b}}\pi +i\sin {\displaystyle \frac{2a}{b}}\pi )}^k$と表される複素数$\}$

で定める．事実$\mathrm{F}$を考慮すると，集合$P$の要素の個数$n(P)$は$\boxed{\text{(テ)}}$である．

(3)　事実$\mathrm{F}$を証明しなさい．

(4)　$a_1\text{，}{b}_1$を互いに素な正の整数とし，$a_2\text{，}{b}_2$も互いに素な正の整数とする．集合$Q_1$と$Q_2$を

$Q_1=\left\{z\right|z$は整数$k$を用いて${(\cos {\displaystyle \frac{2a_1}{b_1}}\pi +i\sin {\displaystyle \frac{2a_1}{b_1}}\pi )}^k$と表される複素数$\}$

$Q_2=\left\{z\right|z$は整数$k$を用いて${(\cos {\displaystyle \frac{2a_2}{b_2}}\pi +i\sin {\displaystyle \frac{2a_2}{b_2}}\pi )}^k$と表される複素数$\}$

で定め，集合$R$を

$R=\{z|z$は集合$Q_1$の要素と集合$Q_2$の要素の積で表される複素数$\}$

で定める．$b_1$と$b_2$が互いに素ならば，集合$R$の要素の個数$n(R)$は$\boxed{\text{(ト)}}$である．$b_1$と$b_2$が互いに素でないとき，それらの最大公約数を$d$とすれば，集合$R$の要素の個数$n(R)$は$\boxed{\text{(ナ)}}$である．

【５】　四面体$\mathrm{OABC}$の$4$つの面はすべて合同であり，$\mathrm{OA}=\sqrt{10}\text{，}\mathrm{OB}=2\text{，}\mathrm{OC}=3$であるとする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\boxed{\text{(ニ)}}$であり，三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$\boxed{\text{(ヌ)}}$である．

　いま，$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を通る平面を$\alpha$とし，点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に垂線$\mathrm{OH}$を下ろす．$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$は$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=\boxed{\text{(ネ)}}$と表される．また，四面体$\mathrm{OABC}$の体積は$\boxed{\text{(ノ)}}$である．

　次に，線分$\mathrm{AH}$と線分$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{P}\text{，}$点$\mathrm{P}$から線分$\mathrm{AC}$に下ろした垂線を$\mathrm{PQ}$とすると，$\mathrm{PQ}$の長さは$\boxed{\text{(ハ)}}$である．また，$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$を通り平面$\alpha$に垂直な平面による四面体$\mathrm{OABC}$の切り口の面積は$\boxed{\text{(ヒ)}}$である．