2016　上智大学　総合人間，経済，外国語学部2月4日実施MathJax

【１】　$▵\mathrm{ABC}$について，$\mathrm{AB}=5\text{，}\mathrm{AC}=3\text{，}45\mathrm{°}<A<90\mathrm{°}\text{，}\tan 2A={\displaystyle \frac{\sqrt{15}}{7}}$であるとする．$0<x<{\displaystyle \frac{5}{2}}$を満たす実数$x$について，辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{AC}$上のそれぞれに点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$を$\mathrm{AP}=2x\text{，}\mathrm{CQ}=x$となるようにとる．

(1)　$\cos A={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$である．

(2)　${\mathrm{PQ}}^2=\boxed{\text{ウ}}{x}^2+\boxed{\text{エ}}x+\boxed{\text{オ}}$であり，$\mathrm{PQ}$は$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}}$のとき最小値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}\sqrt{\boxed{\text{コ}}}$をとる．また，このとき，$▵\mathrm{APQ}$の外接円の半径は${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{サ}}}}{\boxed{\text{シ}}}}$である．

(3)　辺$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{M}$とし，辺$\mathrm{AM}$の$\mathrm{M}$を越える延長線と$▵\mathrm{APQ}$の外接円との交点を$\mathrm{R}$とする．

${\mathrm{AM}}^2=x^2+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}}x+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}}}$

であり，$\mathrm{AM}$が最小値をとるとき，$\mathrm{MR}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}}\sqrt{\boxed{\text{テ}}}$である．

【 ２】　実数$x\text{，}y$に対して，連立不等式

$\{\begin{array}{l}y>1\\ {\displaystyle \frac{1-{\log }_y(x^2-1)-{\log }_{y}2}{2-{\log }_{x}y-{\log }_{x}2}}>0\end{array}\cdots \text{①}$

を考える．

(1)　$x>0\text{，}y>0$が連立不等式$\text{①}$を満たすための必要十分条件は，

$\{\begin{array}{l}y>1\\ {\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}}{\boxed{\text{ナ}}}}{x}^2<y<\boxed{\text{ニ}}{x}^2+\boxed{\text{ヌ}}\end{array}\cdots \text{②}$

である．

(2)　連立不等式$\text{②}$および$0<x\leqq 2$を満たす領域を$D$とする．さらに，$D$とその境界線をあわせて$D^{\prime }$とする．

(ⅰ)　$D^{\prime }$の面積は，

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネ}}}{\boxed{\text{ノ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ハ}}}+\boxed{\text{ヒ}}\sqrt{\boxed{\text{フ}}}$

である．ただし，$\boxed{\text{ハ}}<\boxed{\text{フ}}$とする．

(ⅱ)　点$(x,y)$が$D^{\prime }$内を動くとき，$y-10x$の最大値は$\boxed{\text{ヘ}}+\boxed{\text{ホ}}\sqrt{\boxed{\text{マ}}}$であり，最小値は$\boxed{\text{ミ}}$である．

【３】　正の整数$i\text{，}j\text{，}k\text{，}l$が

$i+{\displaystyle \frac{1}{i}}+j+{\displaystyle \frac{1}{j}}+k+{\displaystyle \frac{1}{k}}=l\cdots \text{①}$

を満たすとする．

(1)　$\text{①}$を満たす$(i,j,k,l)$の組は$\boxed{\text{ム}}$通りある．

(2)　正の整数を係数とする$3$次関数

$f(x)=a_3{x}^3+a_2{x}^2+a_{1}x+a_0$

を考える．$\text{①}$を満たす$(i,j,k,l)$の組を$1$つ選び，この組を構成する$4$つの整数から$1$つずつ取り出して$a_0\text{，}{a}_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3$の順に代入する．ただし，$4$つの整数はそれぞれ$1$回しか代入しないものとする．例えば，$(i,j,k,l)$が$(1,1,1,6)$であるとき，$a_0\text{，}{a}_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3$に代入する方法は$4$通りあり，そのうちの$1$つは，

$a_0=1\text{，}{a}_1=6\text{，}{a}_2=1\text{，}{a}_3=1$

である．

　このようにして定めた$f(x)$が極大値と極小値をもち，さらに極値をとる$2$つの$x$の値の積が整数である場合，

$a_0=\boxed{\text{メ}}\text{，}{a}_1=\boxed{\text{モ}}\text{，}{a}_2=\boxed{\text{ヤ}}\text{，}{a}_3=\boxed{\text{ユ}}$

である．