2016　上智大学　文(哲),外国語(独,葡),法(国際関係法)学部2月5日実施

【１】　${\displaystyle \frac{1}{9}}\leqq x\leqq 81$で定義された関数

$f(x)={({\log }_{3}x)}^3-{\displaystyle \frac{1}{6}}{({\log }_3{x}^3)}^2+{\log }_3{\displaystyle \frac{243}{x^6}}$

を考える．

(1)　${\log }_{3}x=t$とおくと，$f(x)$は$t$の式で

$t^3+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}{t}^2+\boxed{\text{ウ}}t+\boxed{\text{エ}}$

と表せる．

(2)　${\displaystyle \frac{1}{9}}\leqq x\leqq 81$において，関数$f(x)$は，$x=\boxed{\text{オ}}$で最小値$\boxed{\text{カ}}$をとり，$x=\boxed{\text{キ}}$で最大値$\boxed{\text{ク}}$をとる．

(3)　${\displaystyle \frac{1}{9}}\leqq x\leqq 81$において，方程式$f(x)=a$が異なる$3$個の実数解をもつような定数$a$の値の範囲は，

$\boxed{\text{ケ}}\leqq a<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}$

である．

(4)　${\displaystyle \frac{1}{9}}\leqq x\leqq 81$において，方程式$f(x)=-6{\log }_{3}x+b$が異なる$3$個の実数解をもつような定数$b$の範囲は，

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}}<b<\boxed{\text{セ}}$

である．

【２】　連立不等式

$\{\begin{array}{ccc}\hfill 5x+2y& \leqq & 20\\ \hfill x+4y& \leqq & 13\hfill \\ \hfill x+y& \geqq & 3\end{array}$

の表す領域を$D$とし，$k=x+3y$とする．

(1)　点$(x,y)$が$D$内を動くとき，$k$は$(x,y)=(\boxed{\text{ソ}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}}})$のとき最大値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}}}$をとり，$(x,y)=({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}}{\boxed{\text{ナ}}}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}})$のとき最小値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネ}}}{\boxed{\text{ノ}}}}$をとる．

(2)　$x$座標と$y$座標が共に整数である点を格子点という．点$(x,y)$が$D$内の格子点を動くとき，$k$は$(x,y)=(\boxed{\text{ハ}},\boxed{\text{ヒ}})$のとき最大値$\boxed{\text{フ}}$をとり，$(x,y)=(\boxed{\text{ヘ}},\boxed{\text{ホ}})$のとき最小値$\boxed{\text{マ}}$をとる．

【３】(1)　$2\text{，}3\text{，}3\text{，}4\text{，}4$の数字が書かれた$5$枚のカードのうち，$4$枚を並べて$4\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の自然数を作る．

(ⅰ)　できる自然数の総数は$\boxed{\text{ミ}}$個である．

(ⅱ)　$2$の倍数の総数は$\boxed{\text{ム}}$個である．

(ⅲ)　$3$の倍数の総数は$\boxed{\text{メ}}$個である．

(ⅳ)　$4$の倍数の総数は$\boxed{\text{モ}}$個である．

(ⅴ)　$9$の倍数の総数は$\boxed{\text{ヤ}}$個である．

(ⅵ)　$11$の倍数の総数は$\boxed{\text{ユ}}$個である．

【３】(2)　$a$を実数とし，関数$f(x)$と$2$次関数$g(x)=-3a{x}^2-5x+(6a+4)$が，

${\displaystyle {\int }_2^x}f(t)dt=g(x)$

を満たしている．このとき，$a=\boxed{\text{ヨ}}$であり，$f(x)=\boxed{\text{ラ}}x+\boxed{\text{リ}}$である．また，

${\displaystyle {\int }_{-1}^2}(f(x)+g(x))dx={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ル}}}{\boxed{\text{レ}}}}$

である．