2016　上智大学　理工学部2月8日実施MathJax

【１】

(1)　$n$を$5$以上の自然数とする．$1$から$n$までの自然数から$3$つ選ぶとき，それらが互いに隣り合わないような選び方は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}(n-\boxed{\text{ウ}})(n-\boxed{\text{エ}})(n-\boxed{\text{オ}})$

通りである．ただし，$\boxed{\text{ウ}}<\boxed{\text{エ}}<\boxed{\text{オ}}$とする．

【１】

(2)　$x$の整式$P=x^3-x^2+1$を$Q=x^2-x+1$で割った余りを$R\text{，}Q$を$R$で割った余りを$S$とすれば，

$S=(\boxed{\text{カ}}x+\boxed{\text{キ}})P+(\boxed{\text{ク}}{x}^2+\boxed{\text{ケ}})Q$

が成り立つ．

【１】

(3)　複素数$z$が$\left|z\right|=1$を満たすとする．$w={\displaystyle \frac{4z}{1-2z}}$とおくと，$w$は

$|w+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}|={\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}}$

を満たす．

【２】　四面体$\mathrm{OABC}$があり，次の条件が満たされているものとする．

$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}=0\text{，}$

${\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|}^2=1\text{，}$${\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|}^2={\displaystyle \frac{3}{2}}\text{，}$${\left|\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right|}^2=1$

(1)　点$\mathrm{B}$を通り，平面$\mathrm{OAC}$に垂直な直線と平面$\mathrm{OAC}$の交点を$\mathrm{H}$とする．このとき，

$\overrightarrow{\mathrm{OH}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}}}\overrightarrow{\mathrm{OC}}\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{BH}}\right|=\boxed{\text{ツ}}$

である．

(2)　四面体$\mathrm{OABC}$の体積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}}$である．

(3)　辺$\mathrm{OA}$上に点$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{Q}$があり，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$は$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$および$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$と直交しているとする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}$であり，四面体$\mathrm{PABQ}$の体積は四面体$\mathrm{OABC}$の体積の${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヌ}}}{\boxed{\text{ネ}}}}$倍である．

【３】　関数

$f(x)=a\sin \left\{\right({\displaystyle \frac{\pi }{2}}+b)\pi \}+c$

を考える．ただし，$a\text{，}b\text{，}c$は定数で$a>0\text{，}-1<b\leqq 1$とする．

(1)　$f(-1)=0\text{，}f(0)=0\text{，}f(1)=1$のとき$a={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ノ}}}}{\boxed{\text{ハ}}}}\text{，}b={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヒ}}}{\boxed{\text{フ}}}}$である．

(2)　$f(-1)=0\text{，}f(0)=-1\text{，}f(1)=1$のとき，$b$はただ一つに定まり$\cos (b\pi )={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ヘ}}}}{\boxed{\text{ホ}}}}$である．

(3)　次の集合$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を考える．

$\mathrm{A}=\{-1,0,1\}\text{，}\mathrm{B}=\{f(-1),f(0),f(1)\}$

(ⅰ)　$\mathrm{A}\supset \mathrm{B}$となる$a\text{，}b\text{，}c$の組は$\boxed{\text{マ}}$通りあり，このうち$f(x)$が$-1<x<1$で最小値をとるものは$\boxed{\text{ミ}}$通りある．

(ⅱ)　$\mathrm{A}=\mathrm{B}$となる$a\text{，}b\text{，}c$の組は$\boxed{\text{ム}}$通りある．

【４】(1)　関数$f(t)=\sqrt{1+\cos t}$について，$0\leqq t\leqq \pi$のとき

$f^{\prime }(t)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{メ}}}{\boxed{\text{モ}}}}\sqrt{1+\boxed{\text{ヤ}}\cos t}$

が成り立つ．

(2)　$xy$平面上を動く点$\mathrm{P}$の時刻$t$における座標$(x,y)$が

$\{\begin{array}{l}x=2\cos t+\cos 2t\\ y=2\sin t-\sin 2t\end{array}$

で与えられている．

(ⅰ)　点$\mathrm{P}$が描く曲線は$\boxed{\text{あ}}$である．ただし，$\boxed{\text{あ}}$には下の選択肢から最も適切なものを選べ．

(ⅱ)　$0<t<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ユ}}}{\boxed{\text{ヨ}}}}\pi$のとき，$x$は単調に減少し$y$は単調に増加する．${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ユ}}}{\boxed{\text{ヨ}}}}\pi <t<\pi$のとき$x$は単調に増加し，$y$は単調に減少する．$t={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ユ}}}{\boxed{\text{ヨ}}}}\pi$のとき，$\mathrm{P}$の座標は

$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ラ}}}{\boxed{\text{リ}}}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ル}}}{\boxed{\text{レ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ロ}}})$

である．

(ⅲ)　点$\mathrm{P}$が描く曲線で囲まれた部分の面積は$\boxed{\text{ワ}}\pi$である．また，$t=0$から$t=\pi$までに$\mathrm{P}$が動く道のりは$\boxed{\text{ヲ}}$である．