2016　上智大学　推薦理工学部

2016　上智大学　理工学部

推薦情報理工学科

易□　並□　難□

【１】(1)　 $y = \sin^{3} x + \cos^{3} x$ のグラフを $- π ≦ x ≦ π$ の範囲で描け．

(2)　次の積分を計算せよ．

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} (\sin^{3} x + \cos^{3} x) d x$

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【２】　数列 ${a_{n}}_{n = 1 ， 2 ， \dots}$ を次の漸化式

$a_{n + 1} = 2 a_{n} + a_{n - 1} （ n ≧ 2 ） a_{1} = 1 ， a_{2} = 2$

により定義されるものとする．

(1)　すべての $n ≧ 1$ に対して， $a_{2 n}$ は偶数であることを示せ．

(2)　数列 ${a_{n}}$ は，すべての $n ≧ 1$ に対して，等式

$a_{n} a_{n + 1} = 2 \sum_{k = 1}^{n} {a_{k}}^{2} （ n ≧ 1 ）$

をみたすことを数学的帰納法を用いて示せ．