2016　東邦大学　薬学部MathJax

【１】　右図は$1$辺の長さが$1$の正六角形である．最初は頂点$0$にある点$\mathrm{P}$が，さいころを投げて出た目が$4$以下のとき時計回りに$3\text{，}5$以上のとき反時計回りに$1\text{，}$正六角形の周上を進む．たとえば，さいころを$2$回投げて順に$2$と$6$の目が出たとき，点$\mathrm{P}$は$\text{頂点}0\to \text{頂点}3\to \text{頂点}2$の順に移動し，移動距離は$4$である．移動距離が$11$になった時点で$\mathrm{P}$は停止するものとして，以下の問いに答えよ．

(1)　$3$回さいころを投げて，$\mathrm{P}$が頂点$1$に移動する確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$である．

(2)　$4$回さいころを投げて，$\mathrm{P}$が頂点$2$に移動する確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}\text{カ}}}}$である．

(3)　$5$回さいころを投げて，$\mathrm{P}$が頂点$5$に移動する確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}\text{コ}\text{サ}}}}$である．

【２】　関数$f(x)=|x^2-4x|\text{（}x\geqq 0\text{）}$について，以下の問いに答えよ．

(1)　$f(x)=-(x^2-4x)$になるのは，$0\leqq x\leqq \boxed{\text{シ}}$のときであり，$x=\boxed{\text{ス}}$のとき$f(x)$は最大値$\boxed{\text{セ}}$をとる．

(2)　$0$以上の定数$a$について，長さ$1$の定義域$a\leqq x\leqq a+1$における$f(x)$の最大値を$F(a)$とする．$F(a)$は$a$の関数として次の式で表される．

$F(a)=\{\begin{array}{ll}-a^2+\boxed{\text{ソ}}a+\boxed{\text{タ}}& (0\leqq a<\boxed{\text{チ}}\text{のとき})\\ \boxed{\text{ツ}}& (\boxed{\text{テ}}\leqq a<\boxed{\text{ト}}\text{のとき})\\ -a^2+4a& (\boxed{\text{ナ}}\leqq a<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}+\sqrt{\boxed{\text{ヌ}\text{ネ}}}}{\boxed{\text{ノ}}}}\text{のとき})\\ a^2-\boxed{\text{ハ}}a-\boxed{\text{ヒ}}& (a\geqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{フ}}+\sqrt{\boxed{\text{ヘ}\text{ホ}}}}{\boxed{\text{マ}}}}\text{のとき})\end{array}$

(3)　(2)における$F(a)$の最小値は${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ミ}\text{ム}}}}{\boxed{\text{メ}}}}$である．

【３】　実数$x$が$x>1$を満たすとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$t={\log }_{2}x$とおくとき，${\log }_2{x}^4+{\log }_{x}4$は$\boxed{\text{モ}}t+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヤ}}}{t}}$と表される．

(2)　${\log }_4({\log }_2{x}^4+{\log }_{x}4)$の最小値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ユ}}}{\boxed{\text{ヨ}}}}$である．

(3)　${\log }_{2\sqrt{2}}({({\log }_{2}2x)}^2-{\log }_2{x}^6+7)$の最小値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ラ}}}{\boxed{\text{リ}}}}$である．

【４】　次の式で与えられる関数$y=f(x)$のグラフ$C$と直線$l\text{：}x=-1$を考える．

$f(x)=\{\begin{array}{cc}-x^2-2x& \text{（}x<0\text{のとき）}\\ x^2-2x& \text{（}x\geqq 0\text{のとき）}\end{array}$

$C$上の$x\geqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$の部分に点$\mathrm{A}$をとり，その$x$座標を$\alpha$とする．点$\mathrm{A}$における$C$の接線と$l$の交点を$\mathrm{P}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{P}$の$y$座標を$\alpha$で表せ．

(2)　$C$と$l\text{，}$および線分$\mathrm{AP}$で囲まれた部分の面積$S_1$を$\alpha$で表せ．

(3)　$C$上に$x$座標が$\alpha +1$である点$\mathrm{B}$をとり，$\mathrm{B}$における$C$の接線と$l$の交点を$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{AP}\text{，}\mathrm{BQ}$と$l\text{，}$および$C$で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．$S_2-S_1$が最大となる$\alpha$の値を求めよ．

【５】　空間の原点を$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}$点$\mathrm{A}(2,1,2)$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{A}$から$xy$平面に垂線を下ろし，交点を$\mathrm{H}$とおく．半直線$\mathrm{OH}$上にある点$\mathrm{K}$を$\left|\overrightarrow{\mathrm{OK}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|$となるようにとる．$\overrightarrow{\mathrm{OK}}$の成分を求めよ．また，$\cos \angle \mathrm{AOK}$および$\cos \angle \mathrm{OAK}$を求めよ．

(2)　点$\mathrm{A}$を通り$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$に垂直な平面$\alpha$上に，$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|=1$で$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$の$z$成分が$0$となるように点$\mathrm{B}$をとる．また$\alpha$上に，$\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|=1\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\perp \overrightarrow{\mathrm{AC}}$となるように点$\mathrm{C}$をとる．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の成分を求めよ．ただし，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$の$x$成分は正，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の$z$成分は正とする．

(3)　(2)の平面$\alpha$上に，点$\mathrm{A}$を中心とする半径$\sqrt{5}$の円を描く．点$\mathrm{P}$がこの円上を動くとき，$z$座標が最大となるような$\mathrm{P}$の座標を求めよ．