2016　東邦大学　理学部B日程共通MathJax

【１】　次の$\boxed{}$に適する解答を，解答用紙の定められた場所に記入せよ．

(ⅰ)　$x=1-\sqrt{2}$とする．$\sqrt{x^2}-\sqrt{5-2x}$の値は$\boxed{\text{ア}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する解答を，解答用紙の定められた場所に記入せよ．

(ⅱ)　$\overrightarrow{p}=(1,2)$および$\overrightarrow{q}=(3,-1)$とする．実数$t$に対して$f(t)={|\overrightarrow{p}+t\overrightarrow{q}|}^2$とする．このとき$f(t)$が最小になる$t$は$\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する解答を，解答用紙の定められた場所に記入せよ．

(ⅲ)　$2016$を素因数分解すると$\boxed{\text{ウ}}$なので，$2016$の約数は全部で$\boxed{\text{エ}}$個である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する解答を，解答用紙の定められた場所に記入せよ．

(ⅳ)　$n={21}^{50}$は最高位の数字を$\boxed{\text{オ}}$とする$\boxed{\text{カ}}$桁の整数である．ただし，${\log }_{10}2=0.301\text{，}{\log }_{10}3=0.477\text{，}{\log }_{10}7=0.845$とする．

【１】　次の$\boxed{}$に適する解答を，解答用紙の定められた場所に記入せよ．

(ⅴ)　$a$を正の実数とし$f(x)=2x^3+(3-3a)x^2-6ax$の極大値が$10$であるという．このとき，$a=\boxed{\text{キ}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する解答を，解答用紙の定められた場所に記入せよ．

(ⅵ)　$a_1=3\text{，}{a}_2={\displaystyle \frac{3}{2}}\text{，}{a}_{n+1}=\sqrt{a_n{a}_{n+2}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$で定義される数列の一般項は$a_n=\boxed{\text{ク}}$である．

【２】　次の方程式$\text{①}$を成り立たせる整数$x\text{，}y\text{，}z$の組を方程式$\text{①}$の整数解という．

$x^2+y^2+z^2=3xyz\cdots \text{①}$

　以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$x\text{，}y\text{，}z$が$\text{①}$の整数解であり，$0<x\leqq y\leqq z\leqq 2$を満たす$x\text{，}y\text{，}z$の組をすべて求めよ．

(ⅱ)　$x\text{，}y\text{，}z$が$\text{①}$の整数解であるとき，$3yz-x\text{，}y\text{，}z$も$\text{①}$の整数解であることを示せ．

(ⅲ)　$x\text{，}y\text{，}29$が$\text{①}$の整数解であり，$0<x<y<29$とするとき，このような$x\text{，}y$を一組求めよ．

【３】　中心が$\mathrm{O}$で半径が$1$の円周を$24$等分する位置に，点${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{P}}_{24}$を順におく．以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$\cos \angle {\mathrm{P}}_1\mathrm{O}{\mathrm{P}}_2$を求めよ．

(ⅱ)　${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_i={\displaystyle \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}}$となる$i$をすべて求めよ．

(ⅲ)　$\sqrt{3}{\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_i+{\mathrm{P}}_i{\mathrm{P}}_{13}$が最大となる$i$をすべて求めよ．

【４】　$f(x)=x{e}^x-e^2{x}^2$とする．ただし$e$は自然対数の底とする．以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　曲線$y=f(x)$の点$(a,f(a))$における接線の方程式を求めよ．

(ⅱ)　$\mathrm{O}(0,0)$を通る直線が$\mathrm{O}$以外の点$\mathrm{P}$で曲線$y=f(x)$と接するという．このとき$\mathrm{P}$を求めよ．

(ⅲ)　(ⅱ)の$\mathrm{P}$について，線分$\mathrm{OP}$と曲線$y=f(x)$との共有点が$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{P}$以外に存在するか調べよ．

(ⅳ)　(ⅱ)の$\mathrm{P}$について，線分$\mathrm{OP}$と曲線$y=f(x)$で囲まれる部分の面積を求めよ．