2016　早稲田大学　国際教養学部MathJax

【１】(1)　直線$-2x+4y+5=0$を$l$とする．点$\mathrm{A}(2,4)$を通り，直線$l$に垂直な直線を$m$とし，同じく点$\mathrm{A}$を通り，$x$軸に平行な直線を$n$とする．直線$l$と直線$m$の交点を$\mathrm{B}$とし，直線$l$と直線$n$の交点を$\mathrm{C}$とするとき，次の各問いに答えよ．

(ⅰ)　点$\mathrm{B}$の座標は$(\boxed{\text{ア}},\boxed{\text{イ}})$である．

(ⅱ)　線分$\mathrm{AB}$の長さは$\boxed{\text{ウ}}$である．

(ⅲ)　直線$l$上で線分$\mathrm{CB}$を$2:1$に外分する点を$\mathrm{D}$とし，直線$m$上で線分$\mathrm{AB}$を$3:2$に外分する点を$\mathrm{E}$とするとき，四角形$\mathrm{ACED}$の面積は$\boxed{\text{エ}}$である．

【１】(2)　座標平面上に定点$\mathrm{A}(-1,0)$と$\mathrm{B}(1,0)$が与えられているとし，動点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$は，それぞれ$\mathrm{A}$および$\mathrm{B}$とは一致しないところを動くものとするとき，次の各問いに答えよ．

(ⅰ)　点$\mathrm{P}(x,y)$が$\angle \mathrm{APB}=90\mathrm{°}$を満たすように動くとき，点$\mathrm{P}$の$y$座標の最大値は$\boxed{\text{オ}}$である．

(ⅱ)　点$\mathrm{Q}(x,y)$が$\angle \mathrm{AQB}=120\mathrm{°}$を満たすように動くとき，点$\mathrm{Q}$の$y$座標の最大値は$\boxed{\text{カ}}$であり，また，点$\mathrm{Q}$が動いてできる曲線に$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を付け加えた曲線を$C$とすると，曲線$C$が囲む部分の面積は$\boxed{\text{キ}}$である．

【１】(3)　$a$を正の実数とし，$a\ne {\displaystyle \frac{1}{2}}$であるとする．曲線$C\text{：}y=x^2-2x$上の$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$を考える．点$\mathrm{P}$の座標を$({\displaystyle \frac{3}{2}},-{\displaystyle \frac{3}{4}})$とし，点$\mathrm{Q}$の座標を$(a+1,a^2-1)$とする．点$\mathrm{P}$を通り$\mathrm{P}$における$C$の接線に直交する直線を$l$とし，点$\mathrm{Q}$を通り$\mathrm{Q}$における$C$の接線に直交する直線を$m$とする．$2$直線$l$と$m$の交点が曲線$C$上にあるとき，次の各問いに答えよ．

(ⅰ)　$a$の値は$\boxed{\text{ク}}$である．

(ⅱ)　$2$直線$l\text{，}m$と曲線$C$とで囲まれた領域で$x\geqq 0$を満たす部分の面積は$\boxed{\text{ケ}}$である．

【２】(1)　負でない実数の数列$a_1\text{，}{a}_2\text{，}\cdots$は，すべての$n=1\text{，}2\text{，}\cdots$に対して

$a_{n+1}=\sqrt{a_n}$

を満たしているとする．このとき，次の各問いに答えよ．

(ⅰ)　$a_1=256$であるとき，$a_4$は$\boxed{\text{コ}}$であり，$2^{-\frac{1}{100}}\leqq a_n\leqq 2^{\frac{1}{100}}$を満たす最小の自然数$n$は$\boxed{\text{サ}}$である．

(ⅱ)　$a_1={\displaystyle \frac{1}{256}}$であるとき，$a_4$は$\boxed{\text{シ}}$であり，$2^{-\frac{1}{100}}\leqq a_n\leqq 2^{\frac{1}{100}}$を満たす最小の自然数$n$は$\boxed{\text{ス}}$である．

(ⅲ)　$a_1=a_2=a_3=\cdots$となるような初項$a_1$は$\boxed{\text{セ}}$個存在する．

【２】(2)　$1$つのサイコロを何回か投げる場合を考える．$4$回投げたとき，$1$または$2$の目が奇数回出る確率は$\boxed{\text{ソ}}$である．また，$n$回投げたときに$1$または$2$の目が奇数回出る確率を$p_n$とするとき，$p_n$を$n$の式で表すと$\boxed{\text{タ}}$である．

【３】　同じ大きさのカードが$8$枚ある．カードそれぞれに$1$から$8$までの整数がひとつ書かれており，それぞれの整数は$1$枚にのみ書かれている．壷にこれら$8$枚のカードを入れる．

(1)　この壷から無作為に$3$枚のカードを同時に引く．引いたカードの$2$枚には，$1\text{，}2\text{，}3$のうちのどれかふたつの数字が書かれており，かつ残りの$1$枚には，$4$から$8$までのどれかひとつの数字が書かれている確率は$\boxed{\text{チ}}$である．

(2)　(1)で引いたカードをすべて壷に戻す．壷から無作為に$3$枚のカードを同時に引き，それらを戻さずに，続けて無作為に$2$枚のカードを同時に引く．最初に引いた$3$枚のカードには，$1\text{，}2\text{，}3$のうちのどれかふたつの数字と，$4$から$8$までのどれかひとつの数字が書かれており，かつ，最後に引いた$2$枚のカードには，$7\text{，}8$のうちのどれかひとつの数字と，$1$から$6$までのどれかひとつの数字が書かれている確率は$\boxed{\text{ツ}}$である．

(3)　(2)で引いたカードをすべて壷に戻す．次に，$8$個の箱を横に並べ，左から順に$1$から$8$までの番号をつける．壷から$1$枚ずつカードを無作為に引き，引いた順番と同じ番号の箱にカードを入れていく．例えば，$3$枚目に引いたカードは番号$3$の箱に入れる．このとき，奇数が書かれているすべてのカード（$1\text{，}3\text{，}5\text{，}7$の$4$枚）は，カードの数字と同じ番号の箱に入り，かつ，偶数が書かれているすべてのカード（$2\text{，}4\text{，}6\text{，}8$の$4$枚）は，カードの数字と異なる番号の箱に入っている確率は$\boxed{\text{テ}}$である．