2016　早稲田大学　スポーツ科学部

【１】　$x\text{，}y$を正の整数とする．

(1)　$17x-36y=1$となる最小の$x$は$\boxed{\text{ア}}$である．

(2)　$17x^3-36y=1$となる最小の$x$は$\boxed{\text{イ}}$である．

【２】　点$\mathrm{F}(0,1)$を通り，直線$y=-1$に接する円の中心が描く軌跡を曲線$C$とする．このとき，曲線$C$を表す方程式は

$y={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ウ}}}}{x}^2$

となる．また，曲線$C$上に$x$座標が正である点$\mathrm{P}$をとる．線分$\mathrm{FP}$の長さが$4$となるとき，曲線$C$の点$\mathrm{P}$における接線と曲線$C$および$y$軸とで囲まれる図形の面積は$\boxed{\text{エ}}\sqrt{\boxed{\text{オ}}}$となる．

【３】　$2$つの箱$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$があり，いずれの箱にも赤球が$1$個，白球が$3$個入っている．ここで，「それぞれの箱から$1$個の球を無作為に取り出しそれらを交換する」という試行を$n$回繰り返す．その結果，$2$つの箱$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$がともに元の状態に戻っている確率を$p_n$とする．

このとき，正の整数$k$に対して，

$p_{k+1}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}}{p}_k+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}(1-p_k)$

となる．よって，

$p_n={\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{7}}{\left({\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{サ}}}}\right)}^n+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{7}}\text{（}n\geqq 1\text{）}$

となる．

【４】　正の定数$a$に対して，$f(x)=a{x}^3-(2a-1)x^2-(5a+1)x+6(a-1)$とする．関数$y=f(x)$のグラフは$x$軸とちょうど$2$つの共有点をもつ．これらの共有点のうち，$x$座標の値が大きい方の点の座標は$(\boxed{\text{ス}},0)$であり，$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}$である．また，$f(x)$が極小値をとるのは，$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}}}$のときである．

【５】　数列$\{a_n\}$はすべての項が整数であり，次の性質を満たしている．

(1)　$a_5=\boxed{\text{ツ}}\text{，}{a}_6=\boxed{\text{テ}}\text{，}{a}_{49}=\boxed{\text{ト}}$である．

(2)　$a_{5^{100}}=\boxed{\text{ナ}}\cdot 5^{99}$である．

(3)　$p\text{，}q$を$p<q$を満たす$2$つの素数とする．$a_{pq}=pq-1$が成立するならば，$p=\boxed{\text{ニ}}\text{，}q=\boxed{\text{ヌ}}$である．

【６】　関数$f(x)$を

$f(x)={\displaystyle {\int }_x^{x+1}}(1+\left|t\right|)(1+|t-1|)dt$

と定義する．

(1)　$x\leqq -1$のとき，

$f(x)=\boxed{\text{ネ}}{x}^2+\boxed{\text{ノ}}x+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ハ}}}{\boxed{\text{ヒ}}}}$

である．

(2)　$x$が実数全体を動くとき，関数$f(x)$は，$x=\boxed{\text{フ}}$のとき最小となり，その値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヘ}}}{\boxed{\text{ホ}}}}$である．