2016　早稲田大学　社会科学部MathJax

【１】　関数$f(x)=|x^2-1|-1$について，次の問に答えよ．

(1)　関数$f(x)$の最小値，およびそのときの$x$の値を求めよ．また，曲線$y=f(x)$と$x$軸の共有点の座標を求めよ．

(2)　不等式$|x^2-1|<{\displaystyle \frac{1}{2}}$を解け．

(3)　曲線$y=f(x)$上の点$({\displaystyle \frac{1}{2}},f({\displaystyle \frac{1}{2}}\left)\right)$における接線$l$の方程式を求めよ．

(4)　曲線$y=f(x)$と接線$l$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

【２】　三角形$\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とおく．また，$\mathrm{C}$を通り$\mathrm{AD}$と平行な直線と辺$\mathrm{BA}$の延長との交点を$\mathrm{E}$とおく．

　ベクトルを$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{c}\text{，}$辺の長さを$\mathrm{AC}=b\text{，}$$\mathrm{AB}=c\text{，}$角を$\angle \mathrm{BAC}=\theta$として，次の問に答えよ．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{CE}}$を$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}\text{，}$$b\text{，}$$c$を用いて表せ．

(2)　$\cos {\displaystyle \frac{\theta }{2}}=p$とおく．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{CE}}$の絶対値$f=\left|\overrightarrow{\mathrm{CE}}\right|$を$b\text{，}$$c\text{，}$$p$を用いて表せ．

(3)　三角形$\mathrm{BCE}$の重心を$\mathrm{G}$とおく．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{BG}}$を$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}\text{，}$$b\text{，}$$c$を用いて表せ．

(4)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{BG}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$が互いに直交するとき，$\cos \theta$を$b\text{，}$$c$を用いて表せ．

【３】　$x\text{，}y\text{，}z$の$1$次方程式

$x+y+z=2k-1\cdots \text{①}$

について，次の問に答えよ．ただし，定数$k$は$k>6$を満たす整数である．

(1)　方程式$\text{①}$の整数解$(x,y,z)$のうち，$x>0\text{，}y>0\text{，}z>0$をすべて満たすものは全部で何個あるか，$k$を用いて表せ．

(2)　(1)のうち，$x\leqq k$を満たすものは全部で何個あるか，$k$を用いて表せ．

(3)　(1)のうち，$x\leqq k\text{，}y\leqq k+1\text{，}z\leqq k+2$をすべて満たすものは全部で何個あるか，$k$を用いて表せ．