2016　南山大　理工A2月9日実施MathJax

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(1)　放物線$C_1\text{：}y=x^2+ax+8$を$x$軸方向に$5$だけ平行移動した放物線$C_2$の方程式は$y=\boxed{\text{ア}}$である．$C_2$を$y$軸に関して対称移動した放物線が$C_1$に一致するとき，定数$a$の値を求めると$a=\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(2)　$455$と$273$の最大公約数は$\boxed{\text{ウ}}$である．また，方程式$455x+273y=2821$を満たす自然数の組$(x,y)$をすべて求めると$(x,y)=\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(3)　$0<\theta <\pi$とする．方程式$\cos 2\theta -\sin \theta =0$を解くと$\theta =\boxed{\text{オ}}$であり，方程式$\sin 2\theta -\cos 2\theta -\sqrt{6}\sin \theta +1=0$を解くと$\theta =\boxed{\text{カ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(4)　$3$つのさいころを同時に投げる．このとき，出る目の積が奇数になる確率は$\boxed{\text{キ}}$であり，出る目の積が$4$以上の偶数になる確率は$\boxed{\text{ク}}$である．

【２】　関数$f(x)=x{e}^x$と曲線$C\text{：}y=f(x)$を考える．

(1)　導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(2)　$C$上の点$(t,t{e}^t)$における$C$の接線の方程式を求めよ．

(3)　$C$の接線で点$({\displaystyle \frac{1}{2}},0)$を通るものを求めよ．

(4)　不定積分${\displaystyle \int }f(x)dx$を求めよ．

(5)　(3)で求めた直線のうち，接点の$x$座標が${\displaystyle \frac{1}{2}}$より大きいものを$l$とするとき，$C$と$l$と直線$x={\displaystyle \frac{1}{2}}$とで囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

【３】　$3$辺の長さが$\mathrm{OP}=5\text{，}\mathrm{OQ}=6\text{，}\mathrm{PQ}=7$である$▵\mathrm{OPQ}$の内心を$\mathrm{I}$とし，直線$\mathrm{OI}$と辺$\mathrm{PQ}$の交点を$\mathrm{C}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{p}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{q}$とおく．

(1)　面積比$▵\mathrm{IOP}:▵\mathrm{IOQ}:▵\mathrm{IPQ}$を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{p}$と$\overrightarrow{q}$で表せ．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{OI}}$を$\overrightarrow{p}$と$\overrightarrow{q}$で表せ．

(4)　点$\mathrm{R}$を，$\overrightarrow{\mathrm{QR}}=-\overrightarrow{p}$となるようにとり，$▵\mathrm{OQR}$の内心を$\mathrm{J}$とする．このとき，$k\overrightarrow{\mathrm{OI}}-\overrightarrow{\mathrm{OJ}}$と$\overrightarrow{p}$が平行となる$k$の値を求めよ．