2016　南山大　外・総政2月13日実施MathJax

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(1)　${\displaystyle \frac{2}{2-\sqrt{3}}}$の整数部分を$a\text{，}$小数部分を$b$とする．このとき，$a=\boxed{\text{ア}}$であり，$a^2+b^2=\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(2)　$▵\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}\text{，}\angle \mathrm{B}\text{，}\angle \mathrm{C}$の対辺の長さをそれぞれ$a\text{，}b\text{，}c$とする．$\cos \angle \mathrm{B}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}\text{，}\cos \angle \mathrm{C}={\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，${\displaystyle \frac{c}{b}}$の値は$\boxed{\text{ウ}}$であり，${\displaystyle \frac{b}{a+c}}+{\displaystyle \frac{a}{b+c}}$の値は$\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(3)　定数$k$に対して，方程式$x^3+x^2+k=0$が$x=\alpha$を$2$重解としてもつ．ただし，$k\ne 0$である．このとき，$\alpha =\boxed{\text{オ}}$であり，$k=\boxed{\text{カ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(4)　${\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq x\leqq 8$において，$y={({\log }_{2}x)}^3-{\log }_2{x}^3+1$が最小値をとるのは$x=\boxed{\text{キ}}$のときであり，最大値をとるのは$x=\boxed{\text{ク}}$のときである．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(5)　$xy$平面上に曲線$C\text{：}y=-x^2+4x-1$と直線$l\text{：}y=x+k$があり，$C$と$l$は接している．このとき，$k=\boxed{\text{ケ}}$である．また，この$k$の値に対して，$y\leqq x+k\text{，}y\geqq -x^2+4x-1\text{，}y\geqq x^2-2x-1$の条件を同時に満たす領域の面積は$\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　$xy$平面上に曲線$C\text{：}y=-x^2+3x+4$と直線$l\text{：}y=x+1$があり，$C$と$l$は$2$点$\mathrm{A}(a,a+1)\text{，}\mathrm{B}(b,b+1)$で交わっている．ただし，$a<b$である．また，点$\mathrm{P}(p,-p^2+3p+4)$は$C$上にあり，$a<p<b$である．

(1)　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の座標をそれぞれ求めよ．

(2)　直線$\mathrm{PB}$の方程式を，$p$を用いて表せ．

(3)　$▵\mathrm{APB}$の面積が最大となるときの$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(4)　(3)において，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{P}\text{，}\mathrm{B}$の$3$点を通る円の方程式を求めよ．