2016　同志社大　文，経済学部2月6日実施

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(1)　座標空間に$3$点$\mathrm{A}(2,1,0)\text{，}$$\mathrm{B}(1,2,0)\text{，}$$\mathrm{C}(0,2,-1)\text{，}$および点$\mathrm{D}$があり$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=2\overrightarrow{\mathrm{BC}}$が成り立っている．$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|=\boxed{\text{ア}}$であり，点$\mathrm{D}$の座標は $\boxed{\text{イ}}\text{，}$また$\cos \mathrm{\angle BAD}=\boxed{\text{ウ}}$である．$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を含む平面にあり，この$3$点を通る円を$S$とすると，この円$S$の中心$\mathrm{E}$の座標は$\boxed{\text{エ}}$であり，半径は$\boxed{\text{オ}}$である．円$S$は点$\mathrm{D}$も通る．原点を中心とする$4$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$を通る球面$T$が存在し，四角形$\mathrm{ABCD}$を底面とし球面$T$上の点$\mathrm{P}$を頂点にもつ四角錐ができるとき，体積が最大となる点$\mathrm{P}$の座標は$\boxed{\text{カ}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(2)　$2$つの数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$に対して，$3$次式$f_n(x)=x^3+a_n{x}^2+b_{n}x+1$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$が定められている．$f_1(x)=x^3+1$であり，$3$次式$f_{n+1}(x)$を$f_n(x)$の導関数${f_n}^{\prime }(x)$で割った商は${\displaystyle \frac{1}{3}}(x-1)\text{，}$余りは$1$次式$-2x+{\displaystyle \frac{1}{3}}{b}_n+1$となるとする．$a_{n+1}\text{，}$$b_{n+1}$を$a_n\text{，}$$b_n$を用いて表すと$a_{n+1}=\boxed{\text{キ}}\text{，}$$b_{n+1}=\boxed{\text{ク}}$であるので，数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$の一般項はそれぞれ$a_n=\boxed{\text{ケ}}\text{，}$$b_n=\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を$a\ne c$を満たす実数とする．$2$つの関数

$f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c\text{，}$$g(x)=-x^3-c{x}^2-bx-a$

を考える．$3$次方程式$f(x)=0$は相異なる$3$つの実数解をもち，その中の$2$つの解$x=\lambda \text{，}$$x=\mu$は$g(x)=0$の解でもある．ただし，$\lambda >\mu$とする．このとき次の問いに答えよ．

(1)　$\lambda \text{，}$$\mu$の値を求めよ．

(2)　$b$の値を求めよ．また$c$を$a$を用いて表せ．

(3)　$2$つの曲線$y=f(x)\text{，}$$y=g(x)$で囲まれた$2$つの部分の面積の和が$a$の値によらず一定であることを示し，その値を求めよ．

【３】　$n$を正の整数とする．$1$から$n$までの異なる整数が$1$つずつ書かれた$n$個の球が箱の中に入っている．この箱の中から$1$つ球を取り出し，書かれた整数を記録して元に戻す操作を$n$回繰り返す．$k$回目に取り出した球に書かれた整数の値を$x_k$$\text{（}k=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{，}$$n\text{）}$とおく．また，

$y_n={\displaystyle \frac{x_1\times x_2\times x_3\times \cdots \times x_n}{n!}}$

とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)　$n=3$のとき，$y_3=1$となる確率を求めよ．

(2)　$n=3$のとき，$y_3$が整数となる確率を求めよ．

(3)　$n=4$のとき，$y_4=1$となる確率を求めよ．

(4)　$n=6$のとき，$y_6=1$となる確率を求めよ．

(5)　$n=6$であり，$y_6$が$y_6\leqq 2$を満たす整数となることが起こったときの$y_6=1$が起こる条件付き確率を求めよ．