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【2】 座標平面上において,放物線は,点を通り,点,における接線が,軸の正の向きとの角をなす.このとき,次の問いに答えよ.
放物線の方程式は,
である.放物線と線分で囲まれた部分の面積は,である.
次に,線分に直交する直線を考える.直線の方程式は,切片をとすると,
である.ただし,の値の範囲は,である.
さらに,直線と放物線との共有点を直線と線分の交点をとする.ただし,が一致する場合はのぞく.
の値の範囲を,とする.点における放物線の接線の傾きは,を用いて表すと,である.したがって,線分の長さが最大となるの値は,である.
また,直線上に,点に対して点と反対側に任意の点をとる.点を中心にして線分に接する円を考える.円と直線の交点をととするとき,の値は,を用いて表すと,である.
【4】 図に示すように,ある街には東西に本,南北に本の道がある.ただし,区画の長さはすべてとする.このとき,次の問いに答えよ.
(1) 最短距離で点から点へ行く経路を考える.
(a) 点を通る経路は,全部で通りである.
(b) 間を通る経路は、全部で通りである.
(c) 点または点を通る経路は,全部で通りである.
(2) との人が,点を同時に出発して,最短距離で点に向かって,毎分の速さで,分間移動するものとする.ただし,最短距離で行くすべての経路のなかで,どの経路を選ぶかは同様に確からしいものとする.
(a) とが分間移動するものとする.分後に同じ位置にいる確率は,である.
(b) とが分間移動するものとする.分後に点で初めて再会する確率は,である.ただし,分後に点で初めて再会するとは,分後にとは異なる位置にいた後,分後に両者が点にいることを意味する.
(c) とが分間移動するものとする.分後に点で初めて再会する確率を求めることを考える.ただし,分後に点で初めて再会するとは,分後から分後の間はとは異なる位置にいた後,分後に両者が点にいることを意味する.
とが 分後, 分後, 分後あるいは分後に初めて再会する可能性がある位置は,全部で か所である.
とが点に到達する経路の組合せは,全部で通りである.
とが点で初めて再会して点に到達する経路の組合せは,全部で通りであり,点で初めて再会して点に到達する経路の組合せは,全部で通りである.
とが点で初めて再会する確率は,である.