2016　関西大　後期　理系学部3月4日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．

　$0\leqq x\leqq 2\pi$において，各$x$に対して，無限級数

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }}\sqrt{2}\cos (x-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}){(1-\sin 2x)}^n$

を考える．この級数が収束するためには，$\cos (x-{\displaystyle \frac{\pi }{4}})$で表される条件式$\boxed{\text{①}}$を$x$が満たすか，または$1-\sin 2x$を用いて表される不等式$\boxed{\text{②}}$を$x$が満たすことが必要十分である．$\boxed{\text{①}}$を満たす$x$は$\boxed{\text{③}}$であり，$\boxed{\text{②}}$を満たす$x$の範囲は$\boxed{\text{④}}$である．$\boxed{\text{④}}$のとき，この級数の和を$f(x)$とおく．$f(x)$を$\sin x\text{，}\cos x$を用いて表すと，

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{2\sin x}}+\boxed{\text{⑤}}$

である．関数$f(x)$は$x=\boxed{\text{⑥}}$で極大値$\boxed{\text{⑦}}$をとり，$x=\boxed{\text{⑧}}$で極小値$\boxed{\text{⑨}}$をとる．

【２】　虚数単位$i$に対して$\alpha =1+9\sqrt{3}i\text{，}\beta =-3+\sqrt{3}i$とし，複素数平面上で$2$点$\mathrm{A}(\alpha )\text{，}\mathrm{B}(\beta )$をとる．次の$\boxed{}$をうめよ．

　線分$\mathrm{AB}$の中点$\mathrm{P}$を表す複素数は$\boxed{\text{①}}$である．$\angle \mathrm{ACB}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}\text{，}\mathrm{AC}=4\mathrm{BC}$となる点$\mathrm{C}$を表す複素数で実部が小さい方を$\gamma$とする．このとき${\displaystyle \frac{\alpha -\gamma }{\beta -\gamma }}=\boxed{\text{②}}$となるから$\gamma =\boxed{\text{③}}$である．線分$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{Q}$とする．${\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq k\leqq 1$を満たす実数$k$に対して，線分$\mathrm{CA}$を$k:(1-k)$に内分する点$\mathrm{R}$を表す複素数は$k$を用いて表すと

$\boxed{\text{④}}+(8k+1)\sqrt{3}i$

となる．$\angle \mathrm{PRQ}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$となるように$k$の値を定めると，

$k={\displaystyle \frac{5+\sqrt{\boxed{\text{⑤}}}}{16}}$

となる．このとき$▵\mathrm{CQR}$の面積は${\displaystyle \frac{5\sqrt{3}+\sqrt{\boxed{\text{⑥}}}}{2}}$である．

【３】　次の$\boxed{}$をうめよ．

　$c$を正の定数とする．数列$\{a_n\}$は$a_1=5$かつ$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$について

$a_{n+1}=|c(1+i)a_n+1-i|\cdots$(1)

を満たすとする．ここで$i$は虚数単位である．$a_1>0$であることと，(1)式より，$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$について$a_n\geqq 0$が成り立つ．(1)式の両辺を$2$乗して計算することにより，

${a_{n+1}}^2=\boxed{\text{①}}{a_n}^2+\boxed{\text{②}}$

が成り立つことがわかる．$c=\boxed{\text{③}}$のとき，

${a_{n+1}}^2-{a_n}^2=\boxed{\text{②}}$

が成り立つので，数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=\boxed{\text{④}}$と表される．

　$c\ne \boxed{\text{③}}$のとき，数列$\{a_n\}$の一般項は

$a_n=\sqrt{{\displaystyle \frac{2+(\boxed{\text{⑤}}){(\boxed{\text{①}})}^{n-1}}{1-2c^2}}}$

と表される．

　$\boxed{\text{⑤}}\ne 0$かつ$0<c<\boxed{\text{③}}$のとき，数列$\{a_n\}$は収束し，$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\boxed{\text{⑥}}$が成り立つ．$\boxed{\text{⑤}}=0$のとき，すべての$n$について$a_n=\boxed{\text{⑦}}$となり，数列$\{a_n\}$は収束して，$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\boxed{\text{⑦}}$が成り立つ．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　方程式$e{x}^{\log x}={\displaystyle \frac{1}{x^2}}$を解くと，$x=\boxed{\text{①}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(2)　$x$が実数全体を動くとき，$(x^2+4x+3)(x^2+4x+5)+2x^2+8x+9$が最小になるときの$x$の値は$\boxed{\text{②}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(3)　極方程式$r{\sin }^2\theta +\sin \theta =r$の表す曲線を直交座標の$x\text{，}y$の方程式で表すと$\boxed{\text{③}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(4)　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上の$2$点$\mathrm{A}(13,12)\text{，}\mathrm{B}(17,28)$に対して，点$\mathrm{P}$を

$(\overrightarrow{\mathrm{OP}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}})\cdot (\overrightarrow{\mathrm{OP}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}})=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$

を満たすようにとる．このとき，このような点$\mathrm{P}$全体は，中心が$\boxed{\text{④}}\text{，}$半径が$\boxed{\text{⑤}}$の円である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(5)　自然数$n$について数列$\{a_n\}$を

$a_n={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}(\sin 2x-2\sin x)({\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\cos }^{k-1}x)dx$

と定めると，$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\boxed{\text{⑥}}$である．