2016　関西学院大　経済，国際，総合政策学部個別日程2月4日実施MathJax

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=4\text{，}\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CA}=2$である四面体$\mathrm{OABC}$において辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{M}$とする．このとき$\mathrm{MB}=\mathrm{MC}=\boxed{\text{ア}}$であり，$\cos \angle \mathrm{BMC}=\boxed{\text{イ}}$であるから，$▵\mathrm{MBC}$の面積は$\boxed{\text{ウ}}$となる．また点$\mathrm{O}$から$▵\mathrm{ABC}$に下ろした垂線を$\mathrm{OG}$とすると，$\mathrm{OG}$の長さは$\boxed{\text{エ}}$となるから，四面体$\mathrm{OABC}$の体積は$\boxed{\text{オ}}$となる．

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　大，中，小$3$個のサイコロを同時に投げるとき，大のサイコロの目の数を百の位，中のサイコロの目の数を十の位，小のサイコロの目の数を一の位とした$3$桁の自然数を$X\text{，}$中のサイコロの目の数を百の位，小のサイコロの目の数を十の位，大のサイコロの目の数を一の位とした$3$桁の自然数を$Y$とする．このとき，$X$の取り得る値は全部で$\boxed{\text{カ}}$個あり，$X$が$4$の倍数となる確率は$\boxed{\text{キ}}\text{，}X$が$9$の倍数となる確率は$\boxed{\text{ク}}$である．また，$X=Y$となる確率は$\boxed{\text{ケ}}$であり，$X>Y$となる確率は$\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　$x\text{，}y$が$3$つの不等式$y\geqq -{\displaystyle \frac{5}{3}}x+5\text{，}y\geqq 3x-9\text{，}y\leqq {\displaystyle \frac{1}{5}}x+5$を満たすとする．このとき，$x+y$の最小値は$\boxed{\text{ア}}$であり，最大値は$\boxed{\text{イ}}$である．また，$x^2+y^2$の最小値は$\boxed{\text{ウ}}$であり，そのときの$x\text{，}y$の値は$x=\boxed{\text{エ}}\text{，}y=\boxed{\text{オ}}$である．

【２】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　数列$\{a_n\}$は

$a_1=2\text{，}{a}_{n+1}={\displaystyle \frac{3a_n+1}{a_n+3}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

によって定められているとする．このとき，

$b_n={\displaystyle \frac{a_n-1}{a_n+1}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

とおくと，数列$\{b_n\}$は公比$\boxed{\text{カ}}$の等比数列となる．ただし，$\boxed{\text{カ}}$は数値である．したがって，数列$\{b_n\}$の一般項は$b_n=\boxed{\text{キ}}$であり，数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=\boxed{\text{ク}}$である．また，${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{b}_k=\boxed{\text{ケ}}$であり${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{a_k+1}}=\boxed{\text{コ}}$である．

【３】　$a$を正の実数，$b$を実数とし，$2$つの関数

$f(x)=2x^3-3(2a-1)x^2-12ax$

$g(x)={\displaystyle \frac{2}{3(4a^2+4a+1)}}x+b$

を考える．点$\mathrm{P}(t,f(t))$における曲線$y=f(x)$の接線を$l$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　接線$l$の方程式を求めよ．

(2)　接線$l$と直線$y=g(x)$が点$\mathrm{P}$で直交しているとする．このとき，$t$を$a$の式で表せ．また，$b=0$であるとき$a$の値を求めよ．

(3)　$b=0$であり，$a$が(2)で定めた値であるとき，曲線$y=f(x)$と直線$y=g(x)$で囲まれた$2$つの部分の面積の和を求めよ．