2016　関西学院大　理系関学独自入試2月5日実施MathJax

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　関数$f(x)={\displaystyle \frac{x}{x^2+1}}$について，$f^{\prime }(x)=\boxed{\text{ア}}$であり，${\displaystyle \int }f(x)dx=\boxed{\text{イ}}+C$（$C$は積分定数）である．また，$f^{″}(x)=0$の解は$x=0\text{，}\pm \boxed{\text{ウ}}$である．

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　$3$次方程式$x^3+3x^2+5x+3=0$は，$1$つの実数解$\boxed{\text{エ}}$と$2$つの虚数解$\boxed{\text{オ}}\pm \boxed{\text{カ}}i$（$\boxed{\text{オ}}\text{，}\boxed{\text{カ}}$は実数）を持つ．これらの$2$つの虚数解の一方を$\alpha \text{，}$他方を$\beta$とするとき，$2$次方程式$\boxed{\text{キ}}=0$の解は$\alpha -2\text{，}\beta -2$である．

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(3)　座標平面上の$2$点$(-2,6)\text{，}(6,2)$を通る円の中心は直線$y=\boxed{\text{ク}}$上にある．そのような円のうちで直線$x=-4$に接するものは$2$つあり，小さい方は半径が$\boxed{\text{ケ}}$で，中心の座標が$\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

　$f(x)=e^{-x}\cos x\text{，}g(x)=e^{-x}\sin x$とおく．ただし，$e$は自然対数の底である．以下では$a$は$0$でない定数とする．また，$C_j\text{（}1\leqq j\leqq 6\text{）}$は積分定数である．

${\displaystyle \int }f(x)dx=\boxed{\text{ア}}\{f(x)-g(x)\}+C_1\text{，}{\displaystyle \int }g(x)dx=\boxed{\text{ア}}\{f(x)+g(x)\}+C_2\text{，}$

${\displaystyle \int }f(ax)dx=\boxed{\text{イ}}\{f(ax)-g(ax)\}+C_3\text{，}{\displaystyle \int }g(ax)dx=\boxed{\text{イ}}\{f(ax)+g(ax)\}+C_4\text{，}$

${\displaystyle \int }{\{f(x)\}}^{2}dx=\boxed{\text{ウ}}\{f(2x)-g(2x)\}-\boxed{\text{エ}}{e}^{-2x}+C_5\text{，}$

${\displaystyle \int }{\{g(x)\}}^{2}dx=\boxed{\text{ウ}}\{-f(2x)+g(2x)\}-\boxed{\text{エ}}{e}^{-2x}+C_6$

が成り立つ．連立不等式${\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq x\leqq \pi \text{，}f(x)\leqq y\leqq g(x)$で表される領域を$D$とする．$D$の面積は$\boxed{\text{オ}}$である．${\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq x\leqq \pi$の範囲で$|f(x)|=|g(x)|$の解は$x=\boxed{\text{カ}}$である．

$D$を$x$軸の周りに$1$回転してできる立体の$x\leqq \boxed{\text{カ}}$の部分の体積は$\boxed{\text{キ}}$であり，$x\geqq \boxed{\text{カ}}$の部分の体積は$\boxed{\text{ク}}$である．$\boxed{\text{キ}}$と$\boxed{\text{ク}}$の和を$V$とすると$V=\boxed{\text{ケ}}$である．

連立不等式${\displaystyle \frac{3\pi }{2}}\leqq x\leqq 2\pi \text{，}g(x)\leqq y\leqq f(x)$で表される領域を$E$とすると，$E$を$x$軸の周りに$1$回転してできる立体の体積は$V$の$\boxed{\text{コ}}$倍である．

【３】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

　$4$個のスイッチがあり，それぞれはオンまたはオフにできる．毎日正午に，$4$個のスイッチの中から$1$個を等しい確率${\displaystyle \frac{1}{4}}$で選び，オン・オフを切り替える．すなわち，もしオンのものを選んだらそれをオフにし，オフのものを選んだらそれをオンにする．$1$日目の早朝はオンのスイッチもオフのスイッチも$2$個ずつあるとする．

(1)　$1$日目の正午にオンが$3$個になる確率は$\boxed{\text{ア}}$であり，$4$個になる確率は$\boxed{\text{エ}}$である．

(2)　$2$日目の正午にオンが$1$個・$3$個になる確率はともに$\boxed{\text{ウ}}\text{，}2$個になる確率は$\boxed{\text{エ}}\text{，}0$個・$4$個になる確率はともに$\boxed{\text{オ}}$である．$3$日目の正午に$0$個・$2$個・$4$個になる確率はすべて$\boxed{\text{カ}}$である．

(3)　$4$日目の正午にオンが初めて$0$個になる確率は$\boxed{\text{キ}}$である．また，$6$日目の正午にオンが初めて$0$個になる確率は$\boxed{\text{ク}}$である．

(4)　オンのスイッチが$0$個または$4$個の状態のことをゼロヨン状態と呼ぶことにする．$n$日目の正午に初めてゼロヨン状態になる確率を求めよう．

$n$日目の正午にオンが$2$個になったとするとき，$n+2$日目の正午にも$2$個になる確率は$\boxed{\text{エ}}$であり，ゼロヨン状態になる確率は$P_2$に等しい．$N$が奇数ならば$P_n=\boxed{\text{ケ}}$であり，$n$が偶数ならば$P_n=\boxed{\text{コ}}$である．

【４】　$▵\mathrm{OAB}$において，$\mathrm{OA}=\sqrt{3}\text{，}$$\mathrm{OB}=1$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を$\alpha$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　直線$\mathrm{OA}$上に点$\mathrm{P}$を，$\overrightarrow{\mathrm{BP}}$が$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と垂直になるようにとり，直線$\mathrm{OB}$上に点$\mathrm{Q}$を，$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$が$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と垂直になるようにとる．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とおくとき，$s$と$t$を$\alpha$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$の大きさ$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$の大きさ$\left|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\right|$を$\alpha$を用いてそれぞれ表せ．

(3)　直線$\mathrm{AQ}$と直線$\mathrm{BP}$の交点を$\mathrm{R}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=u\overrightarrow{\mathrm{OA}}+v\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とおくとき，$u$と$v$の値を，$\alpha$を用いて表せ．

(4)　$\angle \mathrm{AOB}$が鋭角で$▵\mathrm{OAB}$の面積が${\displaystyle \frac{3}{4}}$のとき，$\alpha$の値を求めよ．また，このとき${\left|\overrightarrow{\mathrm{OR}}\right|}^2$を求めよ．