2016　職業能力開発総合大学校　一般

【１】　次の各問の空欄に適当な数値，または数式を記入しなさい．

(1)　方程式${10}^{2{\log }_{10}x}=4$の解は，$x=\text{(イ)}$である．

【１】　次の各問の空欄に適当な数値，または数式を記入しなさい．

(2)　方程式$2^{2x}+31\cdot 2^x-2016=0$の解は，$x=\text{(ロ)}$である．

【１】　次の各問の空欄に適当な数値，または数式を記入しなさい．

(3)　$\underset{h\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{{(1+h)}^4-(1+4h)}{h^2}}=\text{(ハ)}\text{．}$

【１】　次の各問の空欄に適当な数値，または数式を記入しなさい．

(4)　不等式$|x+1|>2x-3$の解は，$\text{(ニ)}<\text{(ホ)}$である．

【１】　次の各問の空欄に適当な数値，または数式を記入しなさい．

(5)　$3$以上の自然数$n$に対して，複素平面内の単位円周上の$n$個の点$z_k=\cos \left({\displaystyle \frac{2k\pi }{n}}\right)+i\sin \left({\displaystyle \frac{2k\pi }{n}}\right)$$\text{（}k=0\text{，}$$1\text{，}\cdots \text{，}$$n-1\text{）}$を頂点とする正$n$角形の$1$辺の長さは，$\text{(ヘ)}\sin (\text{(ト)})$である．

【１】　次の各問の空欄に適当な数値，または数式を記入しなさい．

(6)　曲線$y=x^2-3x+2$と$x$軸で囲まれた図形の面積は，$\text{(チ)}$である．

【２】　次の各問の空欄に適当な数値を記入しなさい．

(1)　$f(x)={\displaystyle {\int }_0^x}(x-t)(1+t)\mathit{dt}$とする．このとき，$f(3)=\text{(イ)}\text{，}$$f^{\prime }(3)=\text{(ロ)}$である．

【２】　次の各問の空欄に適当な数値を記入しなさい．

(2）　$2$点$\mathrm{A}=(5,-6,4)\text{，}$$\mathrm{B}=(7,-8,3)$を通る直線に原点$\mathrm{O}$から垂線$\mathrm{OH}$を下ろす．点$\mathrm{H}$は直線$\mathrm{AB}$上にあるから，$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=t\overrightarrow{\mathrm{AB}}$となる実数$t$がある．よって，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{AB}}$となる．ここで，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$は垂直なので，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\text{(ハ)}$となる．これにより，$t=\text{(ニ)}$となり，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=(\text{(ホ)},\text{(ヘ)},\text{(ト)})$となる．したがって，線分$\mathrm{OH}$の長さは$\text{(チ)}$となる．

【２】　次の各問の空欄に適当な数値を記入しなさい．

(3）　関数$f(\theta )=-{(\cos \theta )}^2-\sin \theta +2$$(-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$は，$\theta =\text{(リ)}\pi$で最小値$\text{(ヌ)}$をとり，$\theta =\text{(ル)}\pi$で最大値$\text{(ヲ)}$をとる．

【３】　$1$個のボールを繰り返し，的に投げるゲームを行う．$1$個のボールを$1$回，的に投げたとき，的に当る確率は$p$であり，当らない確率は$1-p$である$\text{（}0<p<1\text{）．}$ボールが$2$回続けて的に当ると，「勝ち」としてゲームを終了し，ボールが的に当たらなかった回数が合計$2$回になったら，「負け」としてゲームを終了する．

(1)「ボールが当る」を〇で，「ボールが当らない」を×で表す．このとき，例えば，$1$回目にボールが当たり，$2$回目にボールが当らなく，$3$回目にボールが当らない場合は，「負け」としてゲームが終了する場合であり，○××と，左側から順番に○または×を並べて表す．このとき，「勝ち」としてゲームが終了する場合を，同様な表し方で，全て列挙しなさい．

(2)「勝ち」としてゲームが終了する確率を求めなさい．

【４】　図１のように，時刻$0$において，半径$r=2$の円$C$は，原点$\mathrm{O}$で$x$軸に接している．そして，円$C$は，$x$軸に接しながら，すべることなく回転し，時刻$t$における$x$軸と円$C$の接点の座標は$(\pi t,0)$である．

(1)　時刻$0$から時刻$t$までに円$C$が回転した角度$\theta$（ラジアン）を，$t$を用いて表しなさい．

(2)　時刻$0$のときに$x$軸と円$C$の接点であった円$C$上の定点$\mathrm{A}$の時刻$t$における座標$(x_{\mathrm{A}},y_{\mathrm{A}})$を求めなさい．

(3)　時刻$t$の関数$y_{\mathrm{A}}$のグラフを，横軸を$t\text{，}$縦軸を$y_{\mathrm{A}}$として，時刻$t$が$0\leqq t\leqq 4$の範囲で解答欄の図２に描きなさい．ただし，縦軸の目盛を記入し，関数$y_{\mathrm{A}}$が最大値をとる点の座標を記入すること．