2017　室蘭工業大学　前期MathJax

【１】　$a\text{，}b\text{，}c$を定数とし，関数$f(x)$を

$f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$

と定める．また，$f(x)$は$x=1$と$x=3$でそれぞれ極値をとり，$f(3)=5$とする．

(1)　$a\text{，}b\text{，}c$の値を求めよ．

(2)　曲線$y=f(x)$の上の点$(4,f(4))$における接線を$l$とする．$l$の方程式を求めよ．

(3)　(2)で求めた$l$と曲線$y=f(x)$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

【２】　$a$を定数とする．$2$つの曲線$y=a{x}^2$と$y=2\log x$が共有点$\mathrm{P}$をもち，点$\mathrm{P}$において共通の接線をもつとする．ただし，対数は自然対数とする．

(1)　$a$の値および点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(2)　不定積分${\displaystyle \int }\log xdx$と${\displaystyle \int }{(\log x)}^{2}dx$をそれぞれ求めよ．

(3)　曲線$y=a{x}^2$と曲線$y=2\log x$および直線$x=1$で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．

【３】　複素数平面上の点$\mathrm{A}(1)$を中心とする半径$1$の円$C$上に点$z$がある．また，点$z$に対して，$w={\displaystyle \frac{2z+1}{z+1}}$とおく．

(1)　$z$を$w$を用いて表せ．

(2)　$|2w-3|=|w-2|$が成り立つことを示せ．

(3)　点$z$が円$C$上を動くとき，点$w$はどのような図形をえがくか．

【４】　数列$\{a_n\}$は

$a_1=0\text{，}{a}_2=2\text{，}$

$a_{n+2}=8(n+2)a_{n+1}-7(n^2+3n+2)a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たすとする．

(1)　$b_n={\displaystyle \frac{1}{n!}}{a}_n$とおくとき，$b_{n+2}$を$b_{n+1}$と$b_n$を用いて表せ．

(2)　$c_n=b_{n+1}-b_n$とおくとき，数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

【５】　平面上の$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$について，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とし，平面上の点$\mathrm{P}$は$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$を満たすとする．さらに，$\left|\overrightarrow{a}\right|=1\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{3}$および$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=1$とする．

(1)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$および$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角$\theta$を求めよ．

(2)　$|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}|$を最小にする実数$t$の値を$t_0$とし，平面上の点$\mathrm{Q}$が$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{a}+t_0\overrightarrow{b}$を満たすとする．$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\perp \overrightarrow{\mathrm{PQ}}$であることを示せ．

(3)　(2)の条件のもとで，四角形$\mathrm{OBPQ}$の面積$S$を求めよ．